Нестационарные СП, в отличие от стационарных, составляют столь широкий класс, что в нем трудно выделить свойства, относящиеся ко всему классу. Одним из таких свойств, лежащих в основе определения нестационарности, является зависимость вероятностных характеристик этих процессов от времени.
В частности,
,
.
Пример процесса, существенно нестационарного по математическому ожиданию, приведен на рис. 26а, по дисперсии – на рис. 26б.
Нестационарность по математическому ожиданию хорошо описывается моделью аддитивного нестационарного процесса:
X(t) = Y(t) + j(t),
где Y(t) – стационарный СП; j(t) – детерминированная функция.
Нестационарность по дисперсии описывается моделью мультипликативного нестационарного процесса: X(t) = Y(t)·j(t).
Простейшие примеры нестационарности по моментным функциям в более общем виде описываются зависимостями вероятностных распределений от времени.
Рис. 26
Более сложным является отображение нестационарности в рамках многомерных (и даже двумерных) вероятностных характеристик. Наиболее широко используются корреляционные и спектральные характеристики. Поскольку корреляционная функция нестационарного СП зависит от двух моментов времени, спектр нестационарного процесса не может быть определен столь однозначно, как в стационарном случае. Существует несколько определений спектра нестационарных процессов:
а) двойной по частоте спектр или биспектр:
. (19)
В случае стационарного процесса и соотношение (19) переходит в теорему Винера – Хинчина. Биспектр (19) трудно физически интерпретировать и использовать при анализе цепей, хотя он отображает всю информацию о частотных свойствах процесса;
б) мгновенный частотно-временной спектр.
Заменим в переменные следующим образом: , t = t1 – t2 и выполним преобразование Фурье от корреляционной функции по аргументу t:
. (20)
Мгновенный спектр (20) зависит как от частоты, так и от времени и при медленной нестационарности имеет наглядную физическую интерпретацию как изменение «обычной» спектральной плотности мощности во времени (рис. 27);
в) усредненная спектральная плотность мощности
,
где .
Этот спектр не отображает динамики процесса, но дает представление о среднем распределении дисперсии процесса по частоте;
г) аппаратурный спектр определяется как среднее значение дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра с импульсной реакцией h(t):
.
Рис. 27
Этот спектр допускает аппаратурное определение, но использование его в теории достаточно трудоемко.
ПРИМЕР
Решение примера Рассмотрим пример нестационарного СП, имеющего плотность вероятности, выраженную функцией
где ; a0 = 1 1/В; k = 2 1/Вс.
Необходимо найти математическое ожидание процесса и нарисовать ориентировочно возможный вид реализации процесса.
Для решения задачи прежде всего определим незаданную функцию А(t) из условия нормировки:
.
Отсюда A(t) = a(t).
Поскольку процесс нестационарный, его математическое ожидание может зависеть от времени и в данном случае равно
.
Учитывая известное значение определенного интеграла [1]
при
где – гамма-функция, , получим
.
Возможный вид реализаций процесса, не противоречащий виду распределения, приведен на рис. 28.
Рис. 28
На рис. 28 штриховой линией показано изменение математического ожидания процесса.
Дата: 2019-12-22, просмотров: 264.