К энергетическим характеристикам СП относят корреляционную функцию, спектральную плотность мощности и непосредственно связанные с ними параметры СП.
В разделе 2 было дано определение корреляционных функций как смешанных центральных моментов второго порядка соответственно автокорреляционной и взаимнокорреляционной функций, т.е.
.
Основные свойства автокорреляционной функции:
– свойство симметрии 
, для стационарных процессов – четность 
;
– свойство ограниченности 
, для стационарных процессов 
;
– свойство неограниченного убывания с ростом аргумента (для эргодических процессов) 
;
– свойство положительной определенности интеграла
;
– размерность соответствует квадрату размерности случайного процесса.
Это свойство следует из определения спектральной плотности мощности (для случайных напряжений и тока через сопротивление 1 Ом), которое будет приведено ниже.
Для взаимнокорреляционной функции аналогично можно записать:
; 
;
; 
.
Ввиду ограниченности корреляционной функции частот используют нормированные корреляционные функции
; 
,
причем 
; 
.
Для более компактного описания свойств случайного процесса вводят понятие интервала корреляции, определяющего интервал времени, на котором существует связь между значениями процесса.
Основные определения интервала корреляции:
– интегральный (для положительно определенных корреляционных функций) 
. Геометрически он характеризует ширину основания прямоугольника, равновеликого по площади функции k(t) при t > 0 (рис. 17а);
– абсолютный интервал корреляции 
(в отличие от предыдущего может использоваться для знакопеременных функций 
) (рис. 17б);
– квадратичный интервал корреляции 
;
– максимальный интервал корреляции (на уровне a) (рис. 18)
.
Рис. 17
Рис. 18
Обычно уровень a выбирается исходя из рассматриваемой задачи и имеет значения 1/e; 0,1; 9,05; 0,01 и т.д.
Последнее определение не является более произвольным, чем предыдущие, так как выбор конкретного вида функционала протяженности произволен и определяется удобством математического решения конкретной задачи. Практически этот интервал корреляции используется в радиоизмерениях для определения интервала, вне которого случайные величины в сечениях случайного процесса можно считать некоррелированными. Достоверность такого предположения определяется выбором уровня a.
Большое значение в статистической радиотехнике имеют спектральные характеристики СП. При этом используются различные интегральные преобразования процесса вида
.
При исследовании линейных систем с постоянными параметрами особое значение имеет ядро преобразования вида 
, так как отклик линейных систем на гармоническое воздействие также является гармоническим.
Преобразование Фурье от k-й реализации СП дает также случайную функцию частоты, зависящую от номера реализации:
.
В условиях реального наблюдения можно получить лишь текущий спектр реализации за интервал наблюдения T
.
Приведенные выражения в существенной степени формальны, так как для многих СП условия применимости преобразования Фурье не выполняются, и интеграл не сходится к какому-либо определенному пределу.
Определим квадрат модуля спектральной плотности k-й реализации
.
Предполагая процесс стационарным и центрированным, заменяя 
и производя статистическое усреднение по множеству реализаций, определим:
.
Разделив обе части полученного равенства на T и беря предел 
, получим
.
Поясним физический смысл этой характеристики. Учитывая теорему Релея
,
определим 
; 
;
;
; 
.
Таким образом, спектральная плотность мощности или энергетический спектр – это усредненная по всем реализациям функция распределения мощности по частотам.
Следовательно, спектральная плотность мощности и корреляционная функция связаны преобразованием Фурье (теорема Винера – Хинчина):
(9)
Полагая t = 0, получим
.
Учитывая свойство четности корреляционной функции, запишем
,
.
В полученных формулах G(w) определялась для положительных значений круговой частоты w, причем G(w) = G(–w). В отличие от такого «двухстороннего» математического спектра, введем односторонний физический спектр:
.
Тогда формулы теоремы Винера – Хинчина примут вид:
(10)
Часто используется нормированная спектральная плотность мощности
.
Из определения G(w) следуют методы его экспериментального определения (рис. 19). А именно: измеряется квадратичным прибором среднеквадратическое отклонение процесса в узкой полосе (с помощью полосового фильтры с прямоугольной АЧХ), возводится в квадрат, а затем делится на эту полосу Dfэ (полоса такая, что S(f0) » const в пределах Dfэ) (рис. 20).
Рис. 19 Рис. 20
Тогда 
.
Для одиночного колебательного контура 
, где Q – добротность контура, следовательно
.
Спектральная плотность мощности не отражает фазовой структуры сигнала. Две совершенно разные зависимости могут иметь одинаковую спектральную плотность мощности.
Поскольку G(w) и K(t) связаны преобразованием Фурье, для них справедливы основные теоремы о спектрах.
Ширина спектра определяется так же, как и интервал корреляции.
Эффективная (или неудачное название – энергетическая) ширина спектра
.
Определяют также ширину спектра на уровне a: 
.
Рассмотрим связь интервала корреляции и ширины спектра.
Так как 
, а 
, то
. (11)
Таким образом, произведение 
– порядка единицы.
Различают широкополосные и узкополосные процессы (рис. 22а и б).
а б
Рис. 22
Для узкополосных процессов 
. Поскольку для узкополосных случайных процессов значение спектральной плотности мощности при нулевой частоте всегда равно нулю (или очень близко к нему), то корреляционная функция является всегда знакопеременной и ее площадь равна нулю (из теоремы Винера – Хинчина).
Один из широко распространенных в теории широкополосных процессов – белый шум с равномерным спектром 
. Его корреляционная функция равна
.
Противоположный случай – узкополосный процесс – квазидетерминированный СП с дискретным спектром
,
где x1, x2 – случайные величины, не зависящие от t, 
.
Функция X(t) представляет собой гармоническое колебание со случайной амплитудой 
и фазой 
, распределение которого не зависит от времени. Этот процесс будет стационарным лишь при 
и при 
. Тогда 
зависит только от t, причем x1 и x2 некоррелированы.
В этом случае 
;
. (рис. 23)
Рис. 23
Для стационарных СП X(t) и Y(t) вводят также взаимную спектральную плотность мощности
;
; 
;
; 
.
Взаимная спектральная плотность мощности двух процессов комплексная, если взаимная корреляционная функция нечетная, действительная часть такой спектральной плотности четная, а мнимая – нечетная функция: 
.
Для суммы стационарных и стационарно-связанных процессов существует соотношение
.
Дата: 2019-12-22, просмотров: 261.
