Во многих случаях, особенно при экспериментальных исследованиях, вместо ансамбля есть лишь одна реализация. Тогда усреднение производится по времени и при некоторых условиях дает результаты, близкие к усреднению по множеству.
Простейший вариант усреднения состоит в определении среднего арифметического значения. Выделим в отрезке реализации СП длительностью T n дискретных отсчетов с интервалом между ними Dt,
(рис. 24).
Среднее арифметическое значение определим известным образом:
.
Умножим числитель и знаменатель этого выражения на Dt:
.
Рис. 24
При Dt ® 0 и n ® ¥ сумма перейдет в интеграл, описывающий временное усреднение реализации (обозначается чертой сверху или в данном пособии: ) или функции от нее:
. (16)
В общем виде можно записать операцию (16) с помощью оператора временного усреднения ST:
.
Для того чтобы результат не зависел от длительности отрезка T, возьмем предел при T ® ¥:
.
При экспериментальных исследованиях выполнение условия T ® ¥ невозможно, но достаточно выполнения условия .
Часто начало реализации и начало времени интегрирования не совпадают, поэтому оператор правильнее записать в виде оператора текущего среднего:
. (17)
Используется также симметричная форма этого оператора:
. (18)
Частотные характеристики операторов (4.17) и (4.18) равны соответственно:
, ,
т.е. отличаются лишь фазовым множителем .
Практически часто используется оператор экспоненциального сглаживания, реализуемый с помощью интегрирующей RC-цепи в форме
и имеющий характеристику
.
Производя временное усреднение некоторой функции g[x(t)], лежащей в основе какой-либо вероятностной характеристики, получим соответствующую временную характеристику. В частности, дисперсия, полученная временным усреднением, равна
;
Временная корреляционная функция –
.
Аналогами распределений вероятностей являются величины относительного времени пребывания реализации ниже некоторого уровня и в интервале уровней (рис. 25).
Аналог интегральной функции распределения вероятностей – относительное время пребывания реализации ниже некоторого уровня (рис. 25а):
; .
Аналог плотности вероятности – относительное время пребывания реализации в интервале Dx на уровне x (рис. 25б):
;
.
Рис. 25
Процессы, для которых временные характеристики сходятся в некотором смысле к вероятностным при T ® ¥, называются эргодическими. Различают два вида сходимости.
Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине x, если для любого e > 0
.
Сходимость с вероятностью 1 (или почти всюду) определяется следующим образом:
.
Сходимость в среднем определяется из условия:
,
в частности, сходимость в среднеквадратическом –
.
Из сходимости почти всюду следует сходимость по вероятности, а из сходимости в среднеквадратическом также следует сходимость по вероятности.
Часто имеет место не эргодичность процесса, а эргодичность по отношению к математическому ожиданию, корреляционной функции или иной вероятностной характеристике.
Дата: 2019-12-22, просмотров: 243.