Анализируя возможности, специфику, достоинства и недостатки каждого из вышерассмотренных уравнений математических пакетов, можно сказать, что пакет Mathematica наиболее универсален, а значит, и удобен. Действительно, для всей среды Mathematica нет единственного конкурента. Вообще говоря, конкуренты делятся на следующие группы: численные пакеты, системы компьютерной алгебры, приложения для набора текста и подготовки документации, графические и статистические системы, традиционные языки программирования (средства разработки интерфейсов) и электронные таблицы. С тех пор, как Mathematica впервые появилась, другие математические пакеты существенно расширили спектр собственных возможностей, первоначально они предназначались для решения задач, относящихся лишь к одной или двум вышеперечисленным категориям. Например, системы компьютерной алгебры научились решать задачи численно. Несмотря на это, Mathematica уникальна, потому что она неизменно объединяет все эти возможности.

    В частности, исследуя разрешимость нелинейных уравнений, которые зачастую тем или иным методом аппроксимируются некоторой вспомогательной линейной задачей, приходишь к выводу, что использование системы Mathematica наиболее уместно для исследований, так как этот пакет сконструирован Wolfram Research как система компьютерной алгебры, что влечет наличие сильной алгебраической основы в пакете, в то время как, например, пакет MatLab скорее предназначен для оперирования громоздкими матрицами.

Глава 2. Методика исследований.

Теоретические выкладки.

Исследуется вопрос о существовании неподвижной точки у различных классов операторов. В частности рассмотрим оператор, не обязательно являющийся сжимающим. Если неподвижная точка существует, нас интересует, единственна ли она, а также сходятся ли к ней последовательные приближения.

Эта задача была изучена Канторовичем.Заметим, что в случае вещественных уравнений данная теория Канторовича известна под названием метода Ньютона, или метода касательных. Этот метод и некоторая его модификация являются в настоящее время одними из немногих, применяемых на практике для фактического нахождения решения нелинейного функционального уравнения.

Идея метода Ньютона заключается в том, что в окрестности имеющегося приближения исходная задача

                                          (1)

заменяется некоторой вспомогательной линейной задачей.

Последняя задача выбирается так, чтобы погрешность замены имела более высокий порядок малости, чем первый, в окрестности имеющегося приближения . За следующее приближение принимается решение этой вспомогательной задачи.

В качестве такой вспомогательной задачи для (1) естественно взять линейную задачу вида

                                (2)

Ее решение    принимается за следующее приближение  

к решению исходного уравнения, т. е. итерации ведутся по формуле

                               (3)

где       – заданное начальное приближение.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода Ньютона в случае решения скалярного уравнения (1) согласно расчетной формуле (3). Для получения геометрически надо найти абсциссу точки пересечения с осью х касательной к кривой                    в точке            (рис. 1). Уже в случае, когда f(x) – многочлен третьей степени, может случиться, что последовательность не сходится к корню при плохом начальном приближении. Например, в случае, изображенном на рис. 2, все четные приближения совпадают с a, а нечетные – с b, как говорят метод «зациклился». Для более сложных задач реальное поведение приближений при плохом начальном приближении становиться более сложным и трудно поддающимся анализу.

Об условиях сходимости метода Ньютона позволяет судить, например, теорема Канторовича.

Теорема 1. Пусть на отрезке

определена и дважды дифференцируема функция  f(x), удовлетворяющая условиям:

Тогда на отрезке S существует решение х* уравнения (1), к которому сходится последовательность ,   , определенная по (3), и имеет место оценка

                          (4)

Итак, произведем интерактивно некоторые исследования в системе Mathematica:

Исследование  1.

Пусть дано число

• составим уравнение для получения искомого числа

Проверим:

• определим отрезки, содержащие значения вычисляемых величин, т. е. выполним процедуру отделения корней;

Проверим графически расположение корня, используя встроенные функции системы Mathematica:

• решим составленные уравнения с заданной точностью на соответствующих отрезках методом Ньютона по формуле (3):

Сравним исходное и число и полученный корень:

Видно что корни совпадают с учетом точности.

• вычислим искомое число с помощью стандартных функций пакета Mathematica:

Найдем численное выражение полученным корням:

Видно, что корень, найденный с помощью стандартных функций пакета Mathematica, совпадает с найденными выше корнями.

• проанализировав полученные результаты, сравнив с результатами, полученными с помощью стандартных функций, методом деления отрезка пополам, можно смело утверждать, что система Mathematica успешно справляется с поставленной задачей.

Исследование 2.

Решим уравнение  , выполнив следующие действия:

• определим отрезки, содержащие значения вычисляемых величин, т. е. выполним процедуру отделения корней:

Проверим:

• решим равнение с заданной точностью на соответствующих отрезках методом Ньютона по формуле (3):

• решим уравнение с помощью стандартных функций пакета Mathematica:

Видно что среди всех корней уравнения, найденных с помощью стандартных функций пакета Mathematic присутствует корень, равный найденному методом касательных.

• проанализировав полученные результаты, сравнив с результатами, полученными с помощью стандартных функций, методом деления отрезка пополам, можно смело утверждать, что система Mathematica успешно справляется с поставленной задачей.