В решении нелинейных уравнений

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

На тему

«Применение информационных технологий

В решении нелинейных уравнений

Методом последовательных приближений.»

Магистрант

Кафедры математических методов

Теории управления

Короц Юлия Владимировна

Руководители:

Профессор, доктор физ-мат наук

Забрейко Петр Петрович

Доцент Кожич Павел Павлович

Минск – 2007 г.

Оглавление

Оглавление 2

Список обозначений ко всей выпускной работе 3

Реферат « Применение информационных технологий в решении нелинейных уравнений методом последовательных приближений.» 4

Введение. 4

Глава 1. Обзор математических пакетов. 5

1.1. Mathcad. 5

1.2. Maple. 6

1.3. МАТLAB. 7

1.4. Mathematica. 8

1.5. Какой пакет использовать для исследований разрешимости нелинейных уравнений?. 9

Глава 2. Методика исследований. 10

2.1. Теоретические выкладки. 10

2.2. Исследование 1. 11

2.2. Исследование 2. 12

Глава 3. Инструменты для работы над математическим текстом. 14

Глава 4. Основные результаты и их обсуждение. 15

Заключение. 16

Список литературы к реферату. 17

Предметный указатель к реферату. 18

Интернет ресурсы в предметной области исследования. 19

Действующий личный сайт. 20

Граф научных интересов 21

Презентация магистерской диссертации. 22

Список литературы к выпускной работе. 23

Приложения 24

Презентация. 24

Код реализации метода Ньютона в системе Mathematica. 26

Список обозначений ко всей выпускной работе

IT – информационные технологии

М.п.п. – метод последовательных приближений

Реферат « Применение информационных технологий в решении нелинейных уравнений методом последовательных приближений.»

Введение.

Стремительное развитие информационных технологий уже подготовило основу для устранения естественного разрыва между фундаментальными знаниями и их применением на практике.

Современные информационные технологии все шире внедряются в сферу науки, обеспечивая принципиально новый уровень получения обобщения знаний, их распространения и использования.

В результате применения новых технологий легко достигаются следующие цели:

- увеличивается число рассматриваемых задач (благодаря сокращению числа рутинных преобразований);

- исследуются более сложные модели, так как громоздкие вычисления переданы соответствующим компьютерным системам исследуемой области;

- больше внимания уделяется качественным аспектам;

- исчезает страх при работе с громоздкими выкладками и приобретается уверенность в символьных вычислениях;

- прививается вкус к анализу результатов;

- вырабатываются устойчивые практические навыки проведения проведения математических рассуждений.

Очевидно важное место информационных технологий (ИТ) (в частности, систем компьютерной математики) и их развития в свете все более усложняющихся математических моделей и соответственно различных нелинейных операторных уравнений.

Процессе исследования разрешимости нелинейных уравнений, исследования применимости методов последовательных приближений часто приводит к задачам линейной алгебры. В отличие от других вычислительных задач, задачи линейной алгебры на первый взгляд представляются простыми. Однако эта простота обманчива. Например, вычисление решения линейной алгебраической системы с квадратной неособенной матрицей теоретически можно осуществить по правилу Крамера. В то же время практическое применение этого правила к системам высокого порядка нецелесообразно или даже невозможно, так как требует выполнения чрезмерного большого числа арифметических действий. Большое значение также имеет тот факт, что при вычислениях арифметические операции выполняются с погрешностями округлений, которые оказывают сильное влияние на окончательный результат.

Осознанию трудностей решения задач линейной алгебры способствовало появление быстродействующих ЭВМ, которые позволили решать задачи линейной алгебры достаточно большой размерности. Это вызвало бурное развитие вычислительных методов линейной алгебры, которые в настоящее время можно считать наиболее разработанным разделом методов вычислений.

Однако зачастую получаемый результат зависит от выбранного пути решения чисто математической задачи, поэтому представляется интересным проанализировать применение того или иного математического пакета к решению конкретной теоретической проблемы.

В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные и популярные системы компьютерной математики, проанализирована эффективность их применения в предметной области, будет детально рассмотрен пример решения конкретной задачи с помощью выбранной системы, а также будут рассмотрены наиболее удобные инструменты для работы над текстом диссертации.

Maple

Система Maple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования, частично подобный Паскалю.

Maple — система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры, Ито указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов. Maple — тщательно и всесторонне продуманная система компьютерной математики. Она с равным успехом может использоваться как для простых, так и для самых сложных вычислений и выкладок. Ядро системы Maple используется в ряде других математических систем, например в MATLAB и Mathcad, для реализации в них символьных вычислений.

Maple — типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:

· мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);

· редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

· современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;

· мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

· ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;

· численный и символьный процессоры;

· систему диагностики;

· библиотеки встроенных и дополнительных функций;

· пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из программы. Maple — одна из самых мощных и «разумных» интегрированных систем символьной математики, созданная фирмой Waterloo Maple, Inc. (Канада).

Не случайно ядро системы Maple V используется целым рядом других мощных систем компьютерной математики, например системами класса Mathcad и MATLAB.

МАТLAB

МАТLAB - это высокопроизводительный язык для технических рассчетов. Он включает в себя вычисления, визуализацию и программирование в удобной среде, где задачи и решения выражаются в форме, близкой к математической. Типичное использование МАТLAB – это:

- математические вычисления

- создание алгоритмов

- моделирование

- анализ данных, исследования и визуализация

- научная и инженерная графика

- разработка приложений, включая создание графического интерфейса пользователя.

МАLAB – это интерактивная система, в которой основным элементом данных является массив. Это позволяет решать различные задачи, связанные с техническими вычислениями, особенно в которых используюся матрицы и вектора, в несколько раз быстрее, чем при написании программ с использованием «скалярных язаков программирования, таких как Си или Фортран.

Слово МАТLABозначает матричная лабаратолия (matrix laboratory), что свидетельствует о том, что МАТLAB был специально разработан для матричных вычислений.

Говоря о МАТLAB, нельзя не сказать о Simulink. Simulink, сопутствующая MATLAB программа, - это интерактивная система для моделирования нелинейных динамических систем. Она представляет собой среду, управляемую мышью, которая позволяет моделирвать процесс путем перетаскивания блоков диаграмм на экране и их манипуляций. Simulink работает с линейными, нелинейными, непрерывными, дискретными, многомерными системами.

Возникает вопрос о сравнении Maple и Matlab, так как ядро работы с символьными переменными из Maple используется в Matlab. Maple и MATLAB - принципиально разные пакеты. У них есть пересечение в символьной математике, а именно: MATLAB имеет расширение Maple, но на этом сходство заканчивается. Maple - чисто математический пакет, а MATLAB - это язык, на котором разговаривают ученые на международных симпозиумах, т. к. MATLAB используется и математиками, и химиками, и биологами, и многими, многими другими специалистами.

Mathematica

Mathematica — система компьютерной алгебры компании Wolfram Research. Содержит множество функций как для аналитических преобразований, так и для численных расчётов. Кроме того, программа поддерживает работу с графикой и звуком, включая построение дву- и трёхмерных графиков функций, рисование произвольных геометрических фигур, импорт и экспорт изображений и звука.

Mathematica объединяет в единое целое числовое и символьное вычислительное ядро, графическую систему, язык программирования, систему документации и возможность взаимодействия с другими приложениями. Mathematica имеет несколько основных особенностей и предназначена для решения широкого спектра задач. Вот некоторые классы задач, решаемых с помощью Mathematica:

Аналитические преобразования

· Решение систем полиномиальных и тригонометрических уравнений и неравенств, а также трансцендентных уравнений, сводящихся к ним.

· Решение рекуррентных уравнений.

· Упрощение выражения.

· Нахождение пределов.

· Интегрирование и дифференцирование функций.

· Нахождение конечных и бесконечных сумм и произведений.

· Решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

· Преобразования Фурье и Лапласа, а также Z-преобразование

· Преобразование функции в ряд Тейлора, операции с рядами Тейлора: сложение (математика), умножение, композиция, получение обратной функции и т. д.

Численные расчёты

· Вычисление значений функций, в том числе специальных, с произвольной точностью.

· Решение систем уравнений

· Нахождение пределов

· Интегрирование и дифференцирование

· Нахождение сумм и произведений

· Решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных

· Полиномиальная интерполяция функции от произвольного числа аргументов по набору известных значений

· Преобразования Фурье и Лапласа, а также Z-преобразование

Теория чисел

· Определение простого числа по его порядковому номеру, определение количества простых чисел, не превосходящих данное.

· Дискретное преобразование Фурье

· Разложение числа на простые множители, нахождение НОД и НОК.

Линейная алгебра

· Операции с матрицами: сложение, умножение, нахождение обратной матрицы, умножение на вектор, получение определителя.

· Поиск собственных значений и собственных векторов.

Графика и звук

· Построение графиков функций, в том числе параметрических кривых и поверхностей.

· Построение геометрических фигур: ломаных, кругов, прямоугольников, и т. д.

· Воспроизведение звука, график которого задаётся аналитической функцией или набором точек.

· Импорт и экспорт графики во многих растровых и векторных форматах, а также звука.

Кроме того, это интерпретируемый язык функционального программирования. Можно сказать, что система Mathematica написана на языке Mathematica, хотя некоторые функции, особенно относящиеся к линейной алгебре, в целях оптимизации были написаны на языке C.

Теоретические выкладки.

Исследуется вопрос о существовании неподвижной точки у различных классов операторов. В частности рассмотрим оператор, не обязательно являющийся сжимающим. Если неподвижная точка существует, нас интересует, единственна ли она, а также сходятся ли к ней последовательные приближения.

Эта задача была изучена Канторовичем.Заметим, что в случае вещественных уравнений данная теория Канторовича известна под названием метода Ньютона, или метода касательных. Этот метод и некоторая его модификация являются в настоящее время одними из немногих, применяемых на практике для фактического нахождения решения нелинейного функционального уравнения.

Идея метода Ньютона заключается в том, что в окрестности имеющегося приближения исходная задача

(1)

заменяется некоторой вспомогательной линейной задачей.

Последняя задача выбирается так, чтобы погрешность замены имела более высокий порядок малости, чем первый, в окрестности имеющегося приближения . За следующее приближение принимается решение этой вспомогательной задачи.

В качестве такой вспомогательной задачи для (1) естественно взять линейную задачу вида

(2)

Ее решение принимается за следующее приближение

к решению исходного уравнения, т. е. итерации ведутся по формуле

(3)

где – заданное начальное приближение.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода Ньютона в случае решения скалярного уравнения (1) согласно расчетной формуле (3). Для получения геометрически надо найти абсциссу точки пересечения с осью х касательной к кривой в точке (рис. 1). Уже в случае, когда f(x) – многочлен третьей степени, может случиться, что последовательность не сходится к корню при плохом начальном приближении. Например, в случае, изображенном на рис. 2, все четные приближения совпадают с a, а нечетные – с b, как говорят метод «зациклился». Для более сложных задач реальное поведение приближений при плохом начальном приближении становиться более сложным и трудно поддающимся анализу.

Об условиях сходимости метода Ньютона позволяет судить, например, теорема Канторовича.

Теорема 1. Пусть на отрезке

определена и дважды дифференцируема функция f(x), удовлетворяющая условиям:

Тогда на отрезке S существует решение х* уравнения (1), к которому сходится последовательность , , определенная по (3), и имеет место оценка

(4)

Итак, произведем интерактивно некоторые исследования в системе Mathematica:

Исследование 1.

Пусть дано число

• составим уравнение для получения искомого числа

Проверим:

• определим отрезки, содержащие значения вычисляемых величин, т. е. выполним процедуру отделения корней;

Проверим графически расположение корня, используя встроенные функции системы Mathematica:

• решим составленные уравнения с заданной точностью на соответствующих отрезках методом Ньютона по формуле (3):

Сравним исходное и число и полученный корень:

Видно что корни совпадают с учетом точности.

• вычислим искомое число с помощью стандартных функций пакета Mathematica:

Найдем численное выражение полученным корням:

Видно, что корень, найденный с помощью стандартных функций пакета Mathematica, совпадает с найденными выше корнями.

• проанализировав полученные результаты, сравнив с результатами, полученными с помощью стандартных функций, методом деления отрезка пополам, можно смело утверждать, что система Mathematica успешно справляется с поставленной задачей.

Исследование 2.

Решим уравнение , выполнив следующие действия:

• определим отрезки, содержащие значения вычисляемых величин, т. е. выполним процедуру отделения корней:

Проверим:

• решим равнение с заданной точностью на соответствующих отрезках методом Ньютона по формуле (3):

• решим уравнение с помощью стандартных функций пакета Mathematica:

Видно что среди всех корней уравнения, найденных с помощью стандартных функций пакета Mathematic присутствует корень, равный найденному методом касательных.

Заключение.

Таким образом, видно что при работе над диссертацией в любой области науки, а в математике особенно, невозможно обойтись без широчайшего использования различных информационных технологий и инструментов для их применения.

В данной работе

- были рассмотрены наиболее распространенные и популярные системы компьютерной математики MathCad, Maple, MatLab и Mathematica,

- проанализирована эффективность их применения в исследовании разрешимости нелинейных уравнений и поиске неподвижной точки оператора методом последовательных приближений,

- был детально рассмотрен пример решения конкретной задачи с помощью пакета Mathematica,

- а также были рассмотрены наиболее удобные инструменты для работы над текстом диссертации.

Список литературы к реферату

1. А.А. Кулешов // Уравнения математической физики в системе Mathematica.// Мн., БГУ, 2004.

2. А.И. Кравчук // Лекции по курсу «Методы вычислений» для студентов специальностей «Математические методы в экономике», «Компьютерная математика». // Мн., 2005, pdf.

3. А. Картан // Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. // Мир, 1971

4. Л. В. Канторович // Функциональный анализ.// М., Наука, 1984.

Действующий личный сайт

http://www.julietta-mmf.narod.ru

Граф научных интересов

магистранки Короц Ю.В. механико-математического факультета

Специальность математический анализ.

01.01.07 – Вычислительная математика

1. Теория приближенных методов и численных алгоритмов решения задач алгебры, дифференциальных и интегральных уравнений, задач дискретной математики, экстремальных задач, задач управления, некорректных задач других задач линейного, нелинейного и стохастического анализа. 2. Теория и методы параллельных вычислений.

Смежные специальности

01.01.02 – Дифференциальные уравнения

Обоснование численных методов решения дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных, функционально-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений.

Основная специальность

01.01.01 – математический анализ

1.Теория приближений и методы численного анализа. 2. Линейные и нелинейные операторы и специальные классы (дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные, разностные и др.) таких операторов.

Сопутствующие специальности

01.01.05 – Теория вероятностей и математическая статистика

1. Последовательный анализ. 2. Предельные теоремы.

01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел

1. Аналитическая, алгебраическая и геометрическая теории чисел; диофантовы уравнения и приближения. 2. Логические и логико-математические языки, логические системы и логико-математические теории, теории моделей, алгоритмическая разрешимость логических и логико-математических теорий, теории множеств.

Список литературы к выпускной работе.

1. В. Дьяконов // MATHEMATICA 4 Учебный курс.// СПБ, Питер, 2001

2. В. Дьяконов // Mathematica 4 с пакетами расширений.// М., Нолидж, 2000

3. В. Дьяконов // MAPLE 6 Учебный курс. // СПБ, Питер, 2001

4. Е.М. Воробьев // Введение в систему Maтематика.// М., 1998

5. М. Хэлверсон, М. Янг// Эффективная работа с Microsoft Office 2000.// СПб.,2000

6. T. Oetiker, H. Partl, I. Hyna, E. Shlegh, перевод: Б. Тоботрас // Не очень краткое введение в LaTeX 2e или LaTeX За 94 минуты.// version 3.7, 1999

7. Перевод: В.В. Конюшенко // MATLAB Начало работы с MatLab. // pdf.

8. В. Дьяконов // MATHCAD 2001 Учебный курс.// СПБ, Питер, 2001

Приложения

Презентация