ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА.

Числа 1, 2, 3,... называют натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных математических понятий. Возникло оно из потребности практической деятельности людей Чтобы прийти к понятию числа, человек в своем развитии прошел несколько этапов:

I.      Множества сравнивались непосредственно путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами. ("Яблок столько, сколько человек за столом"). Аналогично дошкольники сравнивают множества способом наложения и приложения.

Неудобство заключается в том, что оба множества должны быть одновременно обозримы.

II. Вводятся множества—посредники (камешки, зарубки, узелки, пальцы,...). Человек не отвлекается от конкретных предметов, но уже выделяет общие свойства рассматриваемых множеств ("иметь поровну эле­ментов").

III.Происходит отвлечение от природы множеств—посредников, возникает понятие натурального числа. При счете человек уже не говорил: "Один камешек, два камешка,...", а проговаривал числа: "Один, два, три,...". Это был важнейший этап в развитии понятия числа.

И.Н.Лузин (крупнейший математик современности):

"Мы должны склониться перед гением Человека, создавшего (не открывшего, а именно создавшего) понятие единицы. Возникло Число, а вместе с ним возникла Математика. Идея Числа — вот с чего начиналась история величайшей из наук".

IV.Числа стали не только называть, но записывать и выполнять с ними действия. Появились различные системы счислений.

Числа стали предметом изучения и возникла наука арифметика. Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте, развивалась учеными Древней Греции, стран Арабского мира, а начиная с 18 в. — европейскими учеными. Термин "натуральное число" впервые употребил римский ученый А. Боэций (ок.480 — 524 г.г.).

В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются в разделе математики который называется теорией чисел.

Процесс формирования представлений о числе у дошкольников в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия. Сначала дети сравнивают множества приемами наложения и приложения, затем соотносят с количеством пальцев на руке, затем исполь­зуют натуральные числа при счете.

НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД И ЕГО СВОЙСТВА. СЧЕТ.

К возникновению понятия числа приводят два вида деятельности: счет и измерение. Счет ведет к натуральному числу, измерение — к действительному числу.

Множество натуральных чисел называют натуральным рядом. Он обладает свойствами:

— имеется начальное число (1),

— за каждым числом следует только одно число,

— каждое последующее число на 1 больше предыдущего, а предыдущее на 1 меньше последующего (n ± 1).

— натуральный ряд бесконечен.

При счете используются не все натуральные числа, а только их часть, достаточная для определения количества элементов в множестве.

Например, чтобы определить число элементов в множестве ( а..с.b.е ), нужен отрезок натурального ряда {1,2,3,4,5 }.

Отрезком натурального ряда N называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

N₅ = { 1,2,3.4,5}

Во время счета мы следуем некоторым правилам:

— считаем каждый элемент только один раз, не пропуская ни одного,

— числа называем последовательно, начиная с единицы, не пропус­кая ни одного и не используя дважды.

Счетом элементов множества А называется установление вза­имно однозначного соответствия между множеством А и отрезком 1 натурального ряда N_a

Число а называют числом элементов в множестве А. оно единствен­ное для данного множества и является характеристикой количества эле­ментов в множестве А или, короче, количественным натуральным числом.

В процессе счета происходит также упорядочивание элементов множества А (первый элемент, второй, третий,...), т.е. натуральное число можно рассматривать и как характеристику порядка элементов в множестве А или короче, как порядковое число. В этой роли натуральное число выступает, когда хотят узнать, каким по счету является тот или иной элемент множества.

Натуральное число как результат счета не зависит от того, в каком порядке пересчитывались элементы множества, важно, чтобы соблюдались правила счета.

Многие родители допускают ошибку, говоря, что ребенок умеет считать до ста, когда тот может только называть числа от 1 до 100, т.е. запомнил последовательность числительных/ При обучении дошкольника счету, необходимо научить его устанавливать взаимно однозначное со­ответствие между предметами и числами, чтобы избежать ошибок (пропуск предметов сосчитывание одного предмета несколько раз, непо­нимание сколько же всего предметов и др.).

Количественные и порядковые числа тесно связаны, и возможен пе­реход от одного к другому, в зависимости от цели счета. Сам счет служит для упорядочивания элементов множества или для определения их количества.

10. Способы записи чисел особенности десятичной системы счисления.

СПОСОБЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ.

Человеку необходимо уметь правильно называть и записывать числа, уметь правильно выполнять действия над ними. Для решения этой про­блемы люди разных стран изобретали различные системы счисления.

Система счисления — язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.

Самой старой системой счисления считается двоичная. Человек вел счет не при помощи пальцев, а при помощи рук. Следы этой системы сохранились и сегодня в стремлении считать парами. В компьютерной технике также используется двоичная система счисления.

Переход к пальцевому счету привел к созданию пятеричной системы, десятеричной и др.

В Древнем Вавилоне считали группами по 60, система счисления была шестидесятеричная.

Сейчас наиболее широкое применение получила десятичная система счисления, хотя используются и другие:

шестидесятеричная — при измерении времени,

двенадцатеричная — при счете дюжинами,

двоичная — при счете парами и др.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. Примером непозиционной системы может быть римская нумерация. В ней 7 знаков:

I — один V — пять X — десять L — пятьдесят С — сто D— пятьсот М — тысяча

Все другие числа получаются из этих семи при помощи двух арифме­тических действий: сложения и вычитания. Например IV— четыре (5 — 1 = 4), VI — шесть (5 + 1 = 6). Записи IV и VI показывают, что римская система счисления непозиционная — где бы не стоял знак V или I — он всегда имеет одно и то же значение.

Примером позиционной системы счисления является используемая повсеместно десятичная система. В ней для записи чисел используется 10 цифр, и значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Например, в записи 253 цифра 2 обозначает сотни в записи 325 — цифра 2 обозначает десятки, а в записи 532 — цифра 2 обозначает единицы.

ОСОБЕННОСТИ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системой записи чисел и понятия нуля. Ее завезли в Европу арабские купцы поэтому ее долго называли арабской.

В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.

Например: 5457 — краткая запись числа "пять тысяч четыреста пятьдесят семь". Подробная запись этого числа выглядит так: 5000 + 400 + 50 + 7 или, более строго,

5- 10³ + 4 10²+5- 10 + 7.

Десятичной записью числа х называется его представление в виде: х - а„10" + а_гИ 10^+l+ ....+ а^-70 + а_с где a_h а„__/;      а₁ а_с принимают значения: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а„# 0.

Краткая запись числа выглядит так: а   а а

Числа 1,10,10²,10³ ,...,10^п называются разрядными единицами соответственно первого, второго и т.д. разряда.

10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего высшего разряда.

10 — основание системы счисления, поэтому она называется деся­тичной.

Три первых разряда образуют класс единиц следующие три разряда — классом тысяч, затем идет класс миллионов и др.

Для записи любого числа достаточно 10 цифр. Для называния чисел в пределах миллиарда достаточно 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел получаются из основных.

Некоторые вопросы наименования и записи чисел можно рассматри­вать с дошкольниками. Например:

1)— Отсчитаем 10 палочек. Перевяжем их. Это десяток. Десяток можно называть "дцать". Положим на десяток палочек еще одну. Всего одиннадцать палочек — "одиннадцать".

2) — Возьмем две связки. Это два десятка. Можно сказать "два дцать".

Объяснение происхождения названий чисел второго десятка, счет де­сятками дает хорошую подготовку дошкольникам к усвоению десятичной системы счисления в курсе математики в школе.

11. Этапы развития математики (по А.Н.Колмагорову).

Колмогоров выделяет следующие этапы в развитии математики:

Период зарождения математики, предшествующий греческой математике.

Период элементарной математики. Начало этого периода Колмогоров относит к 6-5 вв. до н.э., а его завершение к 17 в. Запас знаний, которые имела математика до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе.

Период математики переменных величин, который можно условно назвать периодом «высшей математики». Этот период начинается с употребления переменных величин в аналитической геометрии Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления.

Период современной математики. Началом этого периода Колмогоров считает создание Н.И. Лобачевским так называемой «воображаемой геометрии», которая положила начало расширению круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные новые черты, что математику 19 и 20 веков естественно отнести к особому периоду современной математики.

12. Эмпирический этап методики математического развития.

для первого этапа становления методики математического развития характерна ярко выраженная практическая направленность обучения элементам счета, использование наглядности, нацеленной прежде всего на тренировку знаний о числе и арифметических действиях (Д. Л. Волковский, Я. А. Коменский и др.). На этом этапе зародилась и развилась ставшая классической система сенсорного воспитания М. Монтессори, включающая «подготовку к изучению математики», основанную на использовании автодидактических материалов. На этом этапе были заложены основы для становления теории и методики математического развития дошкольников в СССР.

Второй этап становления и развития методики формирования математических представлений дошкольников связан с началом разработки теории и методики математической работы с детьми дошкольного возраста. На этом этапе теоретики и практики дошкольной педагогики стремились определить содержание, методы и приемы работы, дидактический и игровой материал, опираясь на идеи и педагогические взгляды ведущих ученых — психологов и педагогов.

13. Начальный этап становления теории и методики математического развития дошкольников.

II этап - становления методики математического развития дошкольников (с 20- 30 г.г. до середины 60г.) - определение содержания методов и приемов работы с детьми, определение дидактических материалов и игр в зависимости от педагогических взглядов и идей; -естественное математическое развитие ребёнка в детском саду и семье, по методу Е.И.Тихеевой. Создание развивающей среды, как условие полноценного математического развития; - разработка разнообразных методов Л.В.Глаголевой при обучении сравнению величин. - разработка дидактических игр, игровых занимательных упражнений как основной путь математического развития детей по методике Ф.Н.Блехер.

14. Научно обоснованная дидактическая система формирования элементарных математических представлений (А.М.Леушина).

III этап - научно-обоснованная дидактическая система формирования элементарных математических представлений, разработанная А.М.Леушиной (50-60 годы); - теоретическая и методическая Концепция формирования количественных представлений в дошкольном возрасте, определение объёма знаний и умений в области познания множеств и чисел с детьми 2-7 лет; - занятия, как ведущая форма организации работы педагога с детьми; -повседневная жизнь детей- это источник формирования элементарных представлений; -место и роль игр в формировании математических представлений и развитии личности ребёнка; - дидактический материал, как одно из средств формирования математических представлений.

Концепция складывается из: 1. Цель. 2. Содержание. 3. Методы и приёмы. 4. Дидактические средства. 5. Формы организации детей. Занятия становятся ведущей формой детской деятельности.

15. Содержание обучения, цель программ обучения математике.

Содержание математического развития отражено в Программе обучения детей математике, и условно можно его разделить на три направления: представления и понятия; зависимости и отношения; математические действия.

Под содержанием обучения понимаются объем и характер знаний, умений и навыков, которыми должны овладеть дети в процессе организации разных видов деятельности.

Разные математические понятия тесно связаны между собой. Так, в работе с детьми четвертого года жизни основное внимание уделяется формированию знаний о множестве. Дети учатся сравнивать «контрастные» и «смежные» множества (много и один; больше (меньше) на один). В дальнейшем, в группах пятого, шестого, седьмого годов жизни, знания о множестве углубляются: дети сравнивают множество элементов по количеству составляющих, делят множество на подмножества, устанавливая зависимости между целым и его частями, и т.п.

На основе представлений о множестве у детей формиру­ются представления и понятия о числах и величинах и т.д. Усваивая понятия о числах, ребенок учится абстрагировать количественные отношения от всех других особенностей элементов множества (величина, цвет, форма). Это требует от ребенка умения выделять отдельные свойства предметов, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Формирование понятий о величине тесно связано с развитием у детей числовых представлений. Сформированность оценок величины, знаний о числе позитивно влияет на фор­мирование знаний о форме предметов (у квадрата 4 стороны, все стороны равны, а у прямоугольника — только противоположные и т.д.).

В дошкольном возрасте основные математические поня­тия вводятся описательно. Так, при ознакомлении с числом дети упражняются в счете конкретных предметов, реальных и нарисованных (считают девочек и мальчиков, зайчиков и лисичек, круги и квадраты), попутно знакомятся с про­стейшими геометрическими фигурами, без всяких определе­ний и даже описаний этих понятий. Точно так же дети усва­ивают понятия: больше, меньше; один, два, три; первый, вто­рой, последний и т.д.

Каждое понятие вводится наглядно, путем созерцания конкретных предметов или практического оперирования ими.

Основной целью этого обучения являлась подготовка дошкольника к школьному обучению. «Работа по формированию у дошкольников элементарных математических представлений — важнейшая часть их общей подготовки к школе. В связи с переходом к обучению детей с шести лет внимание к этой работе должно быть усилено. Она начинается со второй младшей группы... Воспитатель заботится и о прочном усвоении детьми знаний, предусмотренных программой, и, что особенно важно, о развитии у них интереса