Отношения между множествами. Операции над множествами.

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

2. Объем и содержание понятия. Определение понятия.

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны четыре прямых угла и др. Различают свойства существенные и несущественные.

Существенное свойство — свойство, без которого объект не может существовать.

Несущественное свойство — свойство, отсутствие которого не влияет на существование объекта.

Совокупность всех существенных свойств объекта называют содержанием понятия.

Когда говорят о математическом объекте, имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином. Совокупность всех объектов, обозначаемая одним термином, составляет объем понятия.

Например, содержание понятия "квадрат" — это совокупность всех существенных свойств, которыми обладают квадраты, а в объем этого понятия входят квадраты различных размеров.

Итак, любое понятие характеризуется:

— термином (название);

— объемом (совокупность всех объектов, называемых этим термином);

— содержанием ( совокупность всех существенных свойств объектов, входящих в объем понятия).

Между объемом понятия и его содержанием существует связь: чем "больше" объем понятия, тем "меньше" его содержание, и наоборот. Объем понятия "треугольник" "больше", чем объем понятия "прямоугольный треугольник", так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия "треугольник" "меньше", чем содержание понятия "прямоугольный треугольник", так как прямоугольный треугольник обладает всеми свойствами любого треугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ

Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользуются, когда понятию дают определение.

Определение понятия — это логическая операция, которая, раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.

Определение понятия позволяет отличать определяемые объекты от других объектов. Так, например, определение понятия "прямоугольный треугольник" позволяет отличить его от других треугольников.

Различают явные и неявные определения.

Явные определения имеют форму равенства двух понятий. Одно из них называют определяемым, другое — определяющим.

Например: "Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны". Здесь определяемое понятие — "квадрат", а определяющее — " прямоугольник, у которого все стороны равны".

Самый распространенный вид явных определений — это определение через род и видовое отличие. Приведенное выше определение квадрата относится к таким определениям. Действительно, понятие "прямоугольник", содержащееся в определяющем понятии, является ближайшим родовым понятием по отношению к понятию "квадрат", а свойство "иметь все равные стороны" позволяет из всех прямоугольников выделить один из видов — квадраты.

Основные правила явного определения.

1) Определение должно быть соразмерным, то есть объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.

Если это правило нарушается, в определении возникают логические ошибки.

Например, несоразмерно следующее определение: "Параллельные прямые — прямые, не имеющие общих точек или совпадающие", так как в объем определяющей входят и скрещивающиеся прямые.

2) В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Круг возникает либо тогда, когда определяемое понятие характеризуется через него же, используются лишь иные слова, либо когда определяемое понятие включается в определяющее понятие в качестве его части. Круг в системе определений означает, что определяемое понятие определяется через определяющее, а определяющее через определяемое.

Неявные определения не имеют формы равенства двух понятий. Часто в таких определениях вместо определяющего содержится контекст (отрывок текста). Определения такого вида называют контекстуальными. К неявным относятся еще остенсивные определения, когда называют и показывают тот объект, термин для которого вводят.

Умозаключения и их виды.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ И ИХ ВИДЫ

Умозаключение — это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося Оно представляет собой переход от нескольких высказываний А, А₂, А_п(п > 1) к новому высказыванию В.

Приведем примеры умозаключений (рассуждений).

1) Нетрудно убедиться в истинности следующих высказываний:

3 + 2 < 3 • 2 (А!)

4 + 3 < 4 • 3 (А₂)

7 + 5 < 7 • 5 (Аз).

На их основе можно сделать вывод (В): сумма двух любых натуральных чисел всегда меньше их произведения.

2) Если число х при счете называют раньше числа у то х меньше у (А). Число 7 называют при счете раньше числа 8 (А₂). Следовательно 7 < 8 (В).

В умозаключении различают посылки — высказывания представляющие исходное знанием и заключение — высказыванием к которому приходят в результате умозаключения.

В логике принято указывать вначале посылки, а потом заключением но в конкретном умозаключении их порядок может быть произвольным: вначале заключение — потом посылки; заключение может находиться между посылками.

Понятие умозаключения как логической операции тесно связано с понятием логического следования. Учитывая эту связь различают правильные (дедуктивные) и неправильные (недедуктивные) умозаключения.

Дедуктивным умозаключением называется умозаключением в котором между посылками и заключением имеется отношение логического следования.

В дедуктивном умозаключении из истинных посылок всегда следует истинное заключение.

Правильно строить дедуктивные умозаключениям анализировать их помогают правила логики:

Ошибки в рассуждениях неправильные чертежи, неумение использовать теоремы и Формулы приводят к ложному заключению. Математики стали специально придумывать умышленно неправильные рассуждения, имеющие видимость правильного. Такие рассуждения называются софизмы. Разбор софизмов формирует умение правильно рассуждать помогает усваивать многие математические факты.

Существуют умозаключения, отличные от дедуктивных. Приором таких умозаключений могут быть неполная индукция и аналогия.

Неполная индукция — это умозаключение, при котором на основании того, что некоторые объекты совокупности обладают определенным свойством делается вывод что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.

Выводы в таких умозаключениях могут быть как истинными так и ложными.

Рассмотрим пример использования неполной индукции. Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5. Следовательно, можно утверждать, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5 делится на 5. В данном случае заключение истинно — нам известен признак делимости на 5.

Выводы, получаемые при неполной индукции носит характер предположения, гипотезы. Их надо доказывать или опровергать. Велика роль неполной индукции как способа получения общего знания, как способ открытия закономерностей, правил. Использование неполной индукции в обучении способствует развитию умений сравнивать обобщать делать выводы.

Иногда при обучении дошкольников используют вывод по аналогии при котором осуществляют перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект.

Выводы полученные по аналогии могут быть истинными или ложными, их надо доказывать дедуктивным способом или опровергать контрпримером. Аналогия важна тем, что наводит нас на догадки способствует развитию математической интуиции.

4. Понятия множества. Способы задания множеств.

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА И ЭЛЕМЕНТА МНОЖЕСТВА

В математике часто приходится рассматривать те или иные группы объектов как единое целое: цифры: 0,1,2,3,4.5,6,7,8,9. натуральные числа: 1, 2, 3, 4,... треугольники и т.д.

Все эти различные совокупности называют множествами. Множество — одно из основ- ных математических понятий, поэтому не имеет явного определения, а поясняется на примерах. Возникло это понятие в конце 19 века как обобщение понятий: класс группа, набор и т.п.

В быту множеством называют большое количество элементов. В математике рассматривают множества, состоящие и из одного объектами не содержащие ни одного объекта. Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита: А.В.С Z. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом 0 Например, пустым является множество решений уравнения 5 : х = 0.

Для некоторых числовых множеств приняты стандартные обозначения:

N — множество натуральных чисел,

Z — множество целых чисел,

Q — множество рациональных чисел,

R — множество действительных чисел.

Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами, их принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, Ь, с,..., .

Множества бывают конечные и бесконечные. Например, множество букв русского алфавита — конечное, а множество точек на прямой — бесконечное множество.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ

Так как понятие множества не имеет явного определения необходимо научиться узнавать является ли данная совокупность множеством или нет. Считают, что множество определяется своими элементами.

Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству, либо не принадлежит.

Способы задания множеств:

— перечисляют все его элементы : А = { 3,4,5,6,7 },

(применяется для задания множеств с небольшим количеством элементов, иногда для бесконечных).

— указывают характеристическое свойство элементов:

В — множество двузначных чисел,

К - множество цветов спектра,

(применяется для задания конечных и бесконечных множеств).

Характеристическое свойство — это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Так, характеристическое свойство элементов множества В — "быть двузначным числом".

При обучении дошкольников математике большое место отводится формированию у детей представлений о множестве, его элементах, способах задания и операциях между множествами. В явном виде множества не изучаются, но пронизывают все задания и вопросы.

Названные способы задания множеств взаимосвязаны — если конечное множество задано с помощью характеристического свойства, то можно его элементы перечислить, и наоборот.

Требования к речи воспитателя и детей на занятиях по математике.

25. Наглядный материал: виды, требования, значение, использование в разных возрастных группах.

Средствами наглядности могут быть реальные предметы и явления окружающей действительности, игрушки, геометрические фигуры, карточки с изображением математических символов — цифр, знаков, действий.

Наглядный материал должен соответствовать определенным требованиям:

—предметы для счета и их изображения должны быть известны детям, они берутся из окружающей жизни;

—чтобы научить детей сравнивать количества в разных совокупностях, необходимо разнообразить дидактический материал, который можно было бы воспринимать разными органами чувств (на слух, зрительно, на ощупь);

—наглядный материал должен быть динамичным и в достаточном количестве; отвечать гигиеническим, педагогическим и эстетическим требованиям.

Особые требования предъявляются к методике использования наглядного материала. При подготовке к занятию воспитатель тщательно продумывает, когда (в какой части занятия), в какой деятельности и как будет использован данный наглядный материал. Необходимо правильно дозировать наглядный материал. Негативно сказывается на результатах обучения как недостаточное его использование, так и излишки.

Наглядность не должна использоваться только для активизации внимания. Это слишком узкая цель. Необходимо глубже анализировать дидактические задачи и в их соответствии подбирать наглядный материал. Так, если дети получают начальные представления о тех или других свойствах, признаках объекта, можно ограничиться небольшим количеством средств. В младшей группе знакомят детей с тем, что множество состоит из отдельных элементов, воспитатель демонстрирует множество колец на подносе. И этого бывает достаточно для одного занятия. При ознакомлении детей пятого года жизни с новой геометрической фигурой — треугольником — воспитатель демонстрирует разные по цвету, величине и форме треугольники (равносторонние, разносторонние, равнобедренные, прямоугольные). Без такого разнообразия невозможно выделить существенные признаки фигуры — количество сторон и углов, невозможно обобщить, абстрагироваться. Для того чтобы показать детям различные связи, отношения, необходимо объединять несколько видов и форм наглядности. Например, при изучении количественного состава числа из единиц используются различные игрушки, геометрические фигуры, таблицы и другие виды наглядности на одном занятии.

Способы использования наглядности в учебном процессе различные — демонстрационный, иллюстративный и действенный. Демонстрационный способ (использование наглядности) характеризуется тем, что сначала воспитатель показывает, например, геометрическую фигуру, а потом вместе с детьми обследует ее.

Иллюстративный способ предполагает использование наглядного материала для иллюстрации, конкретизации информации воспитателя. Например, при ознакомлении с делением целого на части воспитатель подводит детей к необходимости этого процесса, а потом практически выполняет деление.

Для действенного способа использования наглядного материала характерна связь слова воспитателя с действием. Примерами этому может быть обучение детей непосредственному сравнению множеств путем накладывания и прикладывания или обучения детей измерению, когда воспитатель рассказывает и показывает, как нужно измерять.

Содержание и методика работы на развитие ориентировки в пространстве во второй младшей и средней группах.

Детей четвертого года жизни учат различать пространственные направления: от наблюдателя (от себя); вперед (впереди); назад (сзади); вверх, вниз; различать правую и левую руки; пользоваться обозначением пространственных направлений.

Особенностью формирования пространственной ориентировки в младшей группе является опора на чувственную основу, накопления практического опыта. В обучении широко используются объяснения, указания, упражнения, игры-занятия, дидактические и двигательные игры. Ознакомление со взаимообратными направлениями осуществляется попарно: вверх — вниз; слева — направо и т.д.

Вследствие многократных восприятий одних и тех же пространственных свойств становится возможным отделение пространственных способностей от самих предметов. Под влиянием обучения у детей формируется способность воспринимать группу предметов во взаимосвязи их разных размеров.

Необходимым условием успешного обозначения пространственного размещения предметов является их территориальная общность.

В процессе ознакомления детей младшей группы с пространственным размещением предметов применяются игры-занятия типа «Прятки» с игрушками, флажками и другими предметами. Так, в игре-занятии «Где медведь искал свой мяч?» место действия ограничено групповой комнатой. Основная цель игры состоит в том, чтобы привлечь внимание детей к разным вариантам пространственных отношений между предметами, активизировать в их речи использование предлогов: под, на, за, около. Во время занятия воспитатель организует диалог, обращается к ним с вопросами: «Что медведь делает? Где он садит? Куда пошел медведь? Где он ищет мяч?»

Воспитатель уточняет детские ответы, учит их менять окончания существительных при использовании разных наречий и глаголоз.

После того как мяч найден, воспитатель предлагает детям вспомнить и самостоятельно рассказать, где же медвежонок искал мяч.

Оправдывают себя и игры-занятия типа инсценированных рассказов. Примером может быть инсценирование рассказа «Куриное семейство» (Т.А.Мусейибова). Сначала вос-

питатель читает рассказ: «Петушок и курочка приходят на зеленую поляну. Они ходят по траве, а потом зовут цыплят». Рассказывая, педагог вызывает отдельных детей к столу и предлагает разместить игрушки: поставить курочку впереди петушка, а между ними цыпленка и т.д.

Уточнению и закреплению пространственной ориентировки способствуют физкультурные и музыкальные занятия, где в процессе активного передвижения малыши обозначают направление, учатся изменять его соответственно сигналу или инструкции воспитателя.

На занятиях по рисованию педагог называет направление движения руки: сверху вниз, слева направо и т.д.

В группе, где находятся пятилетки, продолжают обучать распознаванию пространственных направлений от себя: вперед, назад, налево, направо; в конце года они должны уметь обозначать положение того или иного предмета относительно себя (впереди — шкаф, сзади — стул, справа — дверь, слева — окно, вверху — потолок, внизу — пол, стена — далеко, стул — близко). Уровень приобретаемых знаний о пространстве и сформированность умений ориентироваться в пространстве зависят от того, как воспитатель организует работу на занятиях по математике, физкультуре, изобразительной деятельности, конструированию и в повседневной жизни. Взаимообратные обозначения пространственных отношений, направлений, расстояний всегда даются одновременно, попарно. Например, справа—слева, далеко—близко.

Знакомство с частями суток.

В математическом развитии младших дошкольников большое значение имеют понимание и правильное использование ими слов, указывающих на время действия: было, есть, будет; различение и называние частей суток: утро, день, ве чер, ночь; понимание слов, которые указывают на продолжение и соотношение времени: долго, недолго, сейчас, позже, раньше; обозначение последовательности логически связанных событий в несложных сюжетах.

Формированию этих представлений способствует прежде всего четкий распорядок дня, в определенное время подъем детей, утренняя гимнастика, завтрак, занятия, игры и др.

Младшие дошкольники характеризуют время прежде всего по событиям, которые происходили непосредственно с каждым из них в течение дня и вызвали сильные эмоции. Постепенно они отходят от такого понимания времени и начинают связывать его с действиями, происходящими в окружающей жизни. Характерным для детей этого возраста является восприятие времени как предмета, существующего отдельно: «Куда деваются дни? Куда ушло вчера? Откуда пришло завтра?» — спрашивают дети.

На индивидуальных и коллективных занятиях по математике, развитию речи, а также при ознакомлении с окружающим в свободное от занятий время воспитатель предлагает картинки с изображением действий детей, природных явлений той или иной части суток, организует упражнения с применением иллюстративного материата и без него, беседы с детьми, чтение рассказов, сказок.

Углубление, уточнение и закрепление правильного понимания и использования временных терминов происходит чаще всего на занятиях с использованием раздаточного дидактического материала. Например, воспитатель демонстрирует перед детьми две карточки и объясняет, что из показанного длится долго, а что недолго, что будет скоро, что не скоро, что уже было и т.д.

Ознакомление детей с частями суток следует начинать с контрастных отрезков: день—ночь, утро—вечер. Работе предшествует рассматривание картинок, на которых изображены определенные, характерные для отдельных частей суток, явления. При этом воспитатель опирается на детский опыт, активизирует их воспоминания о той или иной деятельности. Детей спрашивают: «Что нарисовано на картине? Когда солнце светит ярко? Что вы делаете днем в детском саду? А что в это время делают ваши родители?»

37. Игровые упражнения на закрепление знаний о частях суток.

Закрепить эти знания можно в дидактической игре «Когда это бывает?» Суть игры заключается в том, что воспитатель перечисляет деятельность взрослых и детей, а дети узнают, когда это бывает. Например: «Встает солнышко. Мама и папа идут на работу, а дети — в детский сад». — «Это утро», — говорят дети. «Солнышко поднялось выше. Дети играют на участке детского сада». — «Это день».

Чтобы сформировать у дошкольников начальные представления об одной из особенностей времени — о его сменяемости, надо, начиная с младшей группы, упражнять их в правильном понимании и назывании времени действий и других событий. Например, во время завтрака или на занятии по математике, на прогулке воспитатель может спросить: Что делаем сейчас? Что будем делать потом? (Сейчас мы завтракаем, а потом будем играть.)

Когда солнце встает, — это утро, а что наступает за утром? Когда солнце садится, на улице темнеет, — это вечер. А что будет потом? Что мы делаем утром? Что мы делаем днем? А что будем делать вечером?

Во время выполнения таких упражнений педагог следит, насколько дети понимают те или другие задания, применяют слова, понятия, ассоциируют их с нужными действиями и конкретными событиями.

Ориентировка детей во времени тесно связана с их активной оперативной деятельностью. Упражнения на ориентировку во времени требует многократного повторения, пока каждый из них не научится свободно пользоваться специальной временной терминологией и указаниями воспитателя.

Знакомство с днями недели.

Арифметические задачи. Виды. Требования. Структура.

Деление целого на части.

2. Объем и содержание понятия. Определение понятия.

Существенное свойство — свойство, без которого объект не может существовать.

Несущественное свойство — свойство, отсутствие которого не влияет на существование объекта.

Совокупность всех существенных свойств объекта называют содержанием понятия.

Итак, любое понятие характеризуется:

— термином (название);

— объемом (совокупность всех объектов, называемых этим термином);

— содержанием ( совокупность всех существенных свойств объектов, входящих в объем понятия).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ

Различают явные и неявные определения.

Основные правила явного определения.

Если это правило нарушается, в определении возникают логические ошибки.

Умозаключения и их виды.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ И ИХ ВИДЫ

Приведем примеры умозаключений (рассуждений).

1) Нетрудно убедиться в истинности следующих высказываний:

3 + 2 < 3 • 2 (А!)

4 + 3 < 4 • 3 (А₂)

7 + 5 < 7 • 5 (Аз).

На их основе можно сделать вывод (В): сумма двух любых натуральных чисел всегда меньше их произведения.

В дедуктивном умозаключении из истинных посылок всегда следует истинное заключение.

Правильно строить дедуктивные умозаключениям анализировать их помогают правила логики:

Выводы в таких умозаключениях могут быть как истинными так и ложными.

4. Понятия множества. Способы задания множеств.

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА И ЭЛЕМЕНТА МНОЖЕСТВА

Для некоторых числовых множеств приняты стандартные обозначения:

N — множество натуральных чисел,

Z — множество целых чисел,

Q — множество рациональных чисел,

R — множество действительных чисел.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ

Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству, либо не принадлежит.

Способы задания множеств:

— перечисляют все его элементы : А = { 3,4,5,6,7 },

(применяется для задания множеств с небольшим количеством элементов, иногда для бесконечных).

— указывают характеристическое свойство элементов:

В — множество двузначных чисел,

К - множество цветов спектра,

(применяется для задания конечных и бесконечных множеств).

Так, характеристическое свойство элементов множества В — "быть двузначным числом".

Отношения между множествами. Операции над множествами.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

Если у двух множеств есть общие элементы, то говорят, что эти множества пересекаются.

Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.

Пусть С — множество изображенных треугольников, D — множество изображенных квадратов, тогда С и D — непересекающиеся множества. Пусть С — множество изображенных геометрических фигур, D — множество изображенных треугольников, тогда каждый элемент множества D является элементом множества С. Говорят, что множество D является подмножеством множества С. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В: АсВ Пустое множество считают подмножеством любого множества:

0<= в Любое множество является подмножеством самого себя:

ВсВ

Если каждый элемент одного множества является элементом другого множества, и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества, говорят, что множества равны и пишут А = В.

Отношения между множествами:

1. Множества не пересекаются, (рис.17).

2. Множества пересекаются:

а) множества имеют общие элементы, но ни одно не является подмножеством другого;

б) одно множество является подмножеством другого ВсА;

в) множества равны А = В.

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Из элементов двух множеств можно образовывать новые множества, которые являются результатом определенных операций над множествами.

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Объединением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А 1 или множеству В.

При обучении дошкольников действию вычитания воспитатель опирается на понятие дополнения одного множества до другого.

Из исходного множества А ребенок удалят подмножество В и считает количество элементов в оставшемся множестве, оно называется дополнением множества В до множества А. 1 Пусть В е А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ

Большое значение в математических упражнениях дошкольников имеет умение правильно классифицировать предметы.

Классификация — это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от других классов. Пример:

Задание ребенку: " Собери красные кубики в красную коробку, синие — в синюю, а зеленые — в зеленую. "

Ребенок разбивает множество кубиков на три класса ( подмножества) по признаку цвета (характеристическому свойству).

Классификация считается правильной, если выполняются условия:

1. Подмножества (классы) не пересекаются.

2. Объединение всех подмножеств (классов) совпадает с исходным множеством.

Другими словами классификация будет правильной, если все элементы заданного множества будут распределены по классам, и каждый элемент будет находиться только в одном классе.

Дата: 2019-12-22, просмотров: 277.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒