Игра «Восхождение на пик знаний» является многоцелевой, поскольку позволяет решить комплекс дидактических задач. Устные упражнения дают возможность повторить основные понятия, факты, законы, развивают логическое мышление, речь учащихся. Письменные задания представлены на карточках и каждый ученик может выбрать оптимальный путь решения, продемонстрировав умение точно излагать математическую мысль и показать владение материалом.
В конце игры учитель подводит итоги, выставляя оценки отдельным учащимся, награждает призами выигрышную команду.
Урок – игра
Тема урока: Основы теории вероятностей.
Цель урока:
1) повторить изученный материал;
2) расширить кругозор учащихся.
Цель игры:
1) повысить интерес к математике;
2) способствовать развитию внимания, взаимопомощи, чувства товарищества
Оборудование: плакат с указанными маршрутами, набор карточек.
Структура урока.
1.Сообщение темы и цели занятия.
Организация учащихся на проведения игры.
Учитель сообщает правила игры: игровое поле представляет собой рисунок с горным пейзажем и 2 маршрутами восхождения, на которых отмечены привалы, пронумерованные от 1 до 3. Перед началом игры формируется 2 команды, выбираются капитаны. Команды находятся на исходных позициях –«базах». В начале игры капитаны команд получают карточки с устными логическими упражнениями, которые решаются коллективно. Выполнив первое задание команда может начать двигаться по маршруту, выбрав себе номер маршрута.
Письменные задания выполняются у доски. Правильное решение задачи у доски одним из членов команды дает возможность продвинутся к «пику знаний». В противном случае она должна оставаться на привале, пока не придут «спасатели» (члены другой команды).
В случае, если команда быстро и успешно продвигается по маршруту от привала к привалу, то учитель может объявить «спуск снежной лавины», предложив команде коллективно решить еще одну задачу.
Выигрывает команда, которая правильно выполнит все задания и достигнет «пика знаний».
3. Организация учащихся на выполнение работы.
Учитель помогает сформировать команды, раздает карточки с заданиями и следит за ходом игры.
Устные логические упражнения
Задание 1 команде. На тетрадный лист бумаги в линейку бросают иглу (расстояние между линейками 1 см). При какой длине иглы событие А: игла пересекла 5 линий
Будет: а) невозможным; б) случайным; в) достоверным?
Ответ. а) меньше 4см;
б) больше 4 см;
в) ни при какой.
Задание 2 команде. Из дома до школы ученик идет пешком от 10 до 15 минут, а едет на троллейбусе – от 2 до 3 минут. При каких интервалах движения троллейбусов событие
А: по пути в школу ученик обгонит хотя бы один троллейбус
Будет: а) невозможным; б) случайным; в) достоверным?
Ответ. а) ни при какой;
б) больше 7 минут;
в) меньше 7 минут.
Задачи для решения на привалах
Привал 1
Задание 1 команде. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскивают наугад n шаров. Рассмотрим событие А: среди вынутых шаров окажутся шары ровно трех цветов. Для каждого n от 1 до 5 определите, какое это событие - невозможное, случайное или достоверное, и заполните таблицу.
Решение.
| Число вынутых шаров (n) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Характеристика События А | Н | Н | С | С | С |
Задание 2 команде. В коробке снова 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскивают наугад 4 шара. Рассмотрим событие В: среди вынутых шаров окажутся шары ровно m расцветок. Для каждого m от 1 до 4 определите, какое это событие - невозможное, случайное или достоверное, и заполните таблицу.
Решение.
| Число расцветок (m) | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Характеристика события В | Н | С | С | С |
Привал 2
Задание 1 команде. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна стандартная деталь.
Решение.
Извлеченная стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных 30 деталей (21+10-1=30), причем среди них было 20 стандартных (21-1=20). Вероятность того, что была потеряна стандартная деталь,
P= 
Задание 2 команде. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна нестандартная деталь.
Решение.
Среди 30 деталей, каждая из которых могла быть утеряна, было 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартная деталь,
P= 
Привал 3
Задание 1 команде. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.
Решение.
Введем обозначения: R- радиус круга, а – сторона вписанного квадрата, А – попадание точки в квадрат, S – площадь круга, S1 – площадь вписанного квадрата. Как известно площадь круга S=pR2. Сторона вписанного квадрата через радиус описанной окружности выражается формулой 
, поэтому площадь квадрата S1=2R2. Полагая в формуле Sg=S1, SG=S, находим искомую вероятность
Задание 2 команде. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильный треугольник. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.
Решение.
Введем обозначения: R- радиус круга, а – сторона вписанного равностороннего треугольника, А – попадание точки в треугольник, S – площадь круга, S1 – площадь вписанного равностороннего треугольника. Как известно площадь круга S=pR2. Сторона вписанного равностороннего треугольника через радиус описанной окружности выражается формулой 
, поэтому площадь треугольника S1= 
. Полагая в формуле Sg=S1, SG=S, находим искомую вероятность
4. Итоги урока:
1) объявляется команда победителей;
2) вручаются похвальных грамоты наиболее активным участникам игры;
3) коллективно разбираются нерешенные задачи или предлагаются другие способы решения задач.
Заключение
В процессе выполнения выпускной квалификационной работы было проведено исследование по совершенствованию методически преподавания школьной стохастики. Исходя из психолого-педагогических и методических особенностей разработан и апробирован факультативный курс «Элементы теории вероятностей» для 10-11 классов общеобразовательной школы, рассчитанный на 6 уроков.
Экспериментальное преподавание проводилось в школе № 43 ст. НоводеревянковскойКаневского района среди учащихся 10 классов, посещавших факультативный курс. Достаточно высокий уровень усвоения знаний учащихся позволяет судить об эффективности факультативных занятий при обучении теории вероятностей в старших классах общеобразовательной школы.
Таким образом в результате выполнения выпускной квалификационной работы поставленная цель достигнута, задачи выполнены.
Перспектива дальнейшего применения материала выпускной квалификационной работы состоит в том, что она может быть использована в качестве дополнительного пособия при ознакомлении с методикой преподавания основ теорией вероятностей в средней школе как студентами и преподавателями вузов, так и учителями общеобразовательных школ при обучении теории вероятностей.
Так как ведущее место среди факторов, определяющих продуктивность дидактического процесса, занимают мотивация учения и интерес к учебному труду, то использование материала приложений (исторической справки, внеклассного мероприятия «По страницам истории») при введении основ теории вероятностей в изучение, поможет учителю не только побудить интерес к теории вероятностей, но и раскроет непосредственную близость теории вероятностей с жизнью, с практикой и другими науками.
Список литературы
1. Абрамова Г.С. Возрастная психология. – М.: Академия, 1999.-235с.
2. Аверьянов Д.И., Алтынов П.И., Баврин И.И. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 1998.-864с.: ил.
3. Антипов И.Н., Виленкин Н.Я., Иващев–Мусатов О.С. Избранные вопросы математики: Факультативный курс 9 класс. – М.: Просвещение,1979.-191с.: ил.
4. Афанасьев В.В. Теория вероятностей в примерах и задачах. – Ярославль: ЯГПУ, 1994.-127с.
5. Баврин И. И., Фрибус Е.А. Старинные задачи. – М.: Просвещение, 1994.
6. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика для школьников. – М.: Дрофа,2001.-204с.
7. Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики.- //Математика в школе.-2002.- № 4.-с.52 –58.
8. Буренок И.И., Туйбаева Л.И., Цедринский А.Д. Психолого-педагогические и методические аспекты урока математики. – Славянск – на – Кубани, 2000.- 72с.
9. Бычкова Л.О., Селютин В.Д. Об изучении вероятностей и статистики в школе. - //Математика в школе. –1991.-№6.-с. 9-12.
10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1965.-453с.: ил.
11. Гнеденко Б.В. Статистическое мышление и школьное математическое образование. - //Математика в школе.- 1999.-№ 6.-с.2 – 6.
12. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2000.-479с.: ил.
13. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 2001.-400с.: ил.
14. Министерство образования РФ. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев:Математика 5-11 классов. – М.: Дрофа, 2002.
15. Мотикас В.С. Школьнику о теории вероятностей: Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 класса. – М.: Просвещение, 1976.-104с.
16. Подласый И.П. Педагогика: Книга 1. – М.: Владос, 2000.-576с.
17. Подласый И.П. Педагогика: Книга 2. – М.: Владос, 2000.-256с.
18. Рослова Л.О. О новых книгах издательства «Дрофа». - //Математика.-1999.- № 21.- с. 38-40.
19. Соловейчик И.Л. Я иду на урок математики: 6 класс. – М.: Первое сентября, 2001.-320с.: ил.
20. Степашев В.Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе. – М.: Просвещение, 1991.-97с.
21. Столяренко Л.Д. Основы психологии. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1999.-672с.
22. Тарасов Л.В. Мир, построенный на вероятности: книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1984.-153с.
23. Токмазов Г.В. Укрупнение дидактических единиц в задачах по теории вероятностей. - //Математика в школе.-1999.- № 4.- с.81 – 84.
24. Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для VII – VIII классов средней школы. - //Математика в школе. -2002.- № 4.-с.58 – 64.
25. Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для IX классов средней школы. - //Математика в школе.-2002.- № 5.- с.34 – 40.
Приложение 1
Внеклассное мероприятие по математике для старших классов на тему: «По страницам истории»
Тема: По страницам истории.
Девизы урока:
О, сколько нам открытий чудных…
Пушкин А.С.
Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – самый благородный,
Путь подражания – самый легкий
И путь опыта – это путь самый горький…
Конфуций
Цель урока:
1) Развить творческую активность;
2) показать нестандартные способы решения задач по теории вероятностей;
3) побудить интерес к теории вероятностей, математике.
Учитель объявляет тему урока, зачитывает девизы, подчеркнув лаконичность, целенаправленность, точность народной мудрости и соответствие выбранных изречений задачам урока.
Обращает внимание учеников на то, что математика много дает для умственного развития человека – заставляет думать, соображать, искать простые и красивые решения, помогает развивать логическое мышление, умение правильно и последовательно рассуждать, тренирует память, внимание, формирует многие учебные навыки и умения, закаляет характер. Учитель знакомит учащихся со старинными задачами науки о случайном – показывает связь прошлого с современностью.
Учитель : Еще в глубокой древности появились различные игры. В Древней Греции и Риме широкое распространение получили игры в астрагалы (то есть бросание костей из конечностей животных) и игральные кости (кубики с нанесенными на гранях точками). В настоящее время игральные кости иногда изготовляют в виде додекаэдров и икосаэдров. В одной из азартных (слово «азартный» происходит от арабского «азарт» - трудный, то есть редко выпадающие комбинации костей) игр бросали одновременно четыре астрагала и фиксировался результат.
Худший бросок, при котором выпадает более одной единицы, назывался «собакой». Лучшим броском считался бросок «Венера», когда на четырех астрагалах выпадали различные грани. Позднее азартные игры распространились в Средневековой Европе.
В частности, в XIV веке появились игральные карты. В XVII веке азартные игры способствовали зарождению и становлению комбинаторики и науки о случайном (теории вероятностей). Ученые XV-XVII веков много внимания уделяли решению задач о дележе ставки, об игре в кости, лотереях и т. п.
Задачи о дележе ставки.
До середины XVII не было правильных задач о справедливом разделении ставки. В 1654 году между французским математиком Блезом Паскалем и Пьером Ферма возникла переписка по поводу ряда задач. Из переписки Паскаля и Ферма сохранилось лишь 3 письма Паскаля и 4 письма Ферма.
Эти письма впервые были опубликованы в Тулузе. В этой переписки оба ученых, хотя и несколько разными путями, приходят к верному решению, деля ставку пропорционально вероятности выиграть всю ставку, если игра будет продолжена.
Совпадение результатов великих ученых при решении задач о дележе ставки послужило для Паскаля поводом шутливо заметить в первом письме к Ферма от 29 июля 1654 года: «Как я вижу, истина одна:и Тулузе, и в Париже ». Ферма со своей стороны нашел решение и для более сложного случая, когда игра происходит между произвольным числом игроков.
Задачи Блеза Паскаля. Как разделить ставку при игре трех выигрышных партий, если один игрок выиграл две партии, а другой – одну и каждым вложено в игру по 32 пистоля ?
Решение.
Свое решение задачи Паскаль наиболее полно изложил в письме к Ферма от 29 июля 1654 года: « Вот примерно, что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено в игру по 32 пистоля.
Предположим, что один выиграл две партии, а другой – одну. Они играют еще одну партию, если ее выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля…; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь две выигранные партии, и, следовательно, если они намерены произвести раздел, каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля.
Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если он проиграет, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены рисковать… и хотят произвести раздел, то первый должен сказать : «Я имею 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их также получил бы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо мной, либо Вами. Случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте мне , кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля». Как видно из рассуждений Паскаля, первый игрок должен получить 48 пистолей, а второй - 16».
Как разделить ставку при игре трех выигрышных партий, если один игрок выиграл две партии, а другой – ни одной и каждым вложено в игру по 32 пистоля ?
Решение.
Ответы, предложенные паскалем, таковы: первый игрок должен получить 56 пистолей, а второй – 8. рассуждения при решении подобны тем, которые были проведены при решении предыдущей задачи: если бы первый игрок выиграл еще одну партию, то ему причиталось бы 64 пистоля, если бы проиграл – 48 пистоля, а остаток 16 делится поровну.
Как разделить ставку при игре трех выигрышных партий, если первый игрок выиграл одну партию, а второй- ни одной и каждым вложено в игру по 32 пистоля ?
Решение.
Пусть игроки сыграют еще одну партию. Если ее выиграет первый, то он будет иметь , как и в предыдущем случае, 56 пистолей. Если он ее проиграет, то у обоих окажется по одной выигрышной партии и первому следует получить 32 пистоля. Первый игрок может сказать: «Если вы не хотите играть эту партию, дайте мне мой бесспорный выигрыш в 32 пистоля, а остаток от 56 пистоля разделим поровну…то есть возьмем каждый по 12 пистолей, что с 32 пистолей составит 44 пистоля». Значит, первый игрок должен получить 44 пистоля, а второй – 20 пистолей.
Для случая, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй – ни одной, Паскаль приводит формулу W=A+A*(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...2n), где А – ставка каждого игрока, а W – ожидание выигрыша первого игрока.
Как видно, во всех случаях Паскаль делит ставку пропорционально вероятности выигрыша при продолжении игры. Оригинальный метод Паскаля трудно применить к более сложным случаям.
Задачи Пьеро Ферма. Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостает двух партий, а игроку В – трех. Как справедливо разделить ставку, если игра прервана?
Решение. Письмо Ферма , в котором он излагает свой метод решения, не сохранилось, но его можно восстановить из ответного письма Паскаля от 24 августа 1654 года. Рассуждение Ферма сводится к следующему. Игра может быть продолжена максимум еще 4 партии. Для перебора всех возможных случаев Ферма составляет таблицу, где выигрыши партий игроками А и В обозначены соответственно буквами а и в. Из 16 возможных исходов первые 11 благоприятны для выигрыша игроком А всей встречи, а остальные 5 исходов благоприятны для игрока В. следовательно, 11/16 ставки должен получить игрок А, а игрок В – 5/16. Как видно, Ферма предлагает разделить ставку пропорционально вероятностям выигрыша всей встречи.
Паскаль решает эту задачу на основе изучения свойств арифметического треугольника, приведенного в его «Трактате об арифметическом треугольнике», опубликованном посмертно в Париже в 1665 году. Он складывает количество партий, недостающих игрокам А (2) и В (3) берет ту строку треугольника (рис. 1), в котором количество членов равно найденной сумме, то есть пятую.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Рис. 1.
Тогда доля игрока А будет равна сумме членов найденной строки, начиная от единицы, причем количество слагаемых равно числу партий, недостающих игроку В (3), а доля игрока В равна такой же сумме, но с количеством слагаемых, равном числу партий, недостающих игроку А (2). Выписываем строку, в котором находятся пять чисел. Это будет 1, 4, 6, 4, 1. следовательно, ставку нужно разделить в отношении 11:5. при таком решении ставка делится пропорционально вероятностям выиграть всю ставку для игроков А и В.
То есть, правило Паскаля состоит в следующем : пусть игроку А до выигрыша всей игры не хватает m партий , а игроку В – n партий, тогда ставка должна делиться между игроками в отношении 
.
Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостает одного очка, а двум другим (В и С) недостает по два очка. Как справедливо разделить ставки?
Решение. Перебор всех возможных случаев можно представить таблицей.
При рассмотрении такой таблицы Паскаль допустил неточность в рассуждениях, считая, что из 27 возможных исходов бесспорно благоприятствуют игроку А лишь 13, а исходы пятого, одиннадцатого, девятнадцатого столбцов благоприятствуют сразу и игроку А и игроку В (аналогичные исходы девятого, пятнадцатого, двадцать четвертого столбцов благоприятствуют игроку А и игроку С). Поэтому доли игроков в этих случаях следует брать с половинным весом. В результате Паскаль ошибочно предлагал делить ставку в отношении 16: 
вместо 17:5:5.
Задачи о гаданиях.
По преданию, когда – то в сельских местностях России среди девушек существовало гадание. Одна из подруг зажимала в руке шесть травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу, а другая связывала эти травинки попарно между собой сверху и снизу. Если при этом все шесть травинок оказывались связанными в одно кольцо, то это должно было означать, что девушка в текущем году выйдет замуж.
Задача (для самостоятельного решения).
Какова вероятность того, что травинки при завязывании наудачу образуют кольцо?
Ответ. 8/15.
Приложение 2
Дата: 2019-12-22, просмотров: 254.
