В рассматриваемом курсе для испытаний со счетным числом исходов можно использовать классическое и статистическое определение вероятности. Однако трудно не согласиться с венгерским математиком А. Реньи, отметившим, что классическое определение вероятности не является определением, а дает лишь метод ее вычисления в простейших случаях. Поэтому в предлагаемом курсе, сначала вводится статистическое определение вероятности, а затем для случаев, когда есть симметрия исходов испытаний, дается ее классическая формула.
В основе статистического определения вероятности лежит закон больших чисел, который в настоящем курсе приводится как факт, подтвержденный многочисленными опытами и наблюдениями. При введении статистического определения вероятности рекомендуется провести лабораторную работу, состоящую в подбрасывании монеты или игрального кубика. В ходе этой лабораторной работы школьники самостоятельно могут убедится в действии этого закона: с увеличением числа подбрасываний значение статистической частоты выбранного для наблюдения исхода (например, выпадение «орла» на монете, или четырех очков на кубике) устойчиво сосредотачиваются возле некоторого числа p, которое и называется вероятностью наблюдаемого исхода или события.
Внимание учащихся следует обратить на то, что на практике статистические испытания и наблюдения являются основным способом оценки вероятностей событий. При этом всегда возникает вопрос о точности такой оценки, поскольку не всегда возможно проведения достаточно большого числа экспериментов и наблюдений. В случае симметрии исходов испытания (подбрасывания симметричной монеты и игрального кубика, урновые испытания) вероятности исходов полагают равными друг другу. Тогда вероятность любого события А равна 
, где m – число всех исходов испытания, l - число исходов, благоприятствующих появлению события А.
Статистическое определение вероятности удобно для введения аксиом.
1. Вероятность исходов испытаний положительна.
2. Сумма вероятностей всех исходов испытания равна единице e1,e2,...,emp1+p2+...+p3=1. (1)
3. Вероятность случайного события равна сумме вероятностей исходов испытания, благоприятствующих этому событию, т.е. если е1,...,ек – множество всех исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, то
P(A)=p1+...+pk. (2)
В качестве оснований для этих утверждений приводятся очевидные факты, связанные со статистическими испытаниями.
1. Статистическая частота исхода испытания положительна.
2. Сумма статистических частот всех исходов испытания в серии из N повторных экспериментов равна единице:
Здесь n1,n2,...,nm – число появлений исходов e1,e2,...,em в проведенной серии испытаний.
3. Статистическая частота случайного события равна сумме статистических частот исходов испытания, благоприятствующих этому событию.
Для закрепления материала необходимо рассмотреть решения следующих типов задач.
Пример 1. В некотором испытании возможны три исхода e1,e2,е3. Вероятность исхода е1 равна 0,3, а исхода е3 – 0,6. Чему равна вероятность появления исхода е2?
Решение.p2=1-p1-p3=1-0,3-0,6=0,1.
Пример 2. В некотором испытании возможны три исхода e1,e2,е3. В 1000 повторных испытаниях исход е1 появляется 350 раз, а исход е2 – в 40% испытаний. Оцените вероятность исходов испытания.
Решение. 
;
;
p3 
1-0,35-0,4=0,25.
Пример 3. В испытании возможны четыре исхода: e1,e2,е3,е4. Их вероятности соответственно равны p1=0,2, p2=0,1, p3=0,4 и p4=0,3. Событию А благоприятствуют исходы e1 и е4, а событию В – исходы e2,е3 ие4. Чему равна вероятность событий А и В и вероятность, что события А и В произойдут в испытании вместе?
Решение. P(A)= p1+ p4=0,2+0,3=0,5;
P(B)= p2+ p3+ p4= 0,1+0,4+0,3=0,8;
P(A,B)= p4=0,3.
Пример 4. Чему равна вероятность извлечь наугад белый шар из урны, в которой лежат четыре белых и пять черных шаров?
Решение. Пусть событие А – извлечение белого шара. Тогда число всех исходов испытания m=9, число исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, равно 4 (l=4) и P(A)= 
В курсе также рекомендуется рассказать школьникам о так называемом персоналитическом методе оценки вероятности, когда эксперты исходя из своей интуиции, дают личную оценку вероятности событий. Примерами таких оценок являются вероятностные прогнозы исходов соревнований, публикуемые в спортивных изданиях.
Такие прогнозы, как правило, не поддаются проверке, поскольку, например, невозможно провести большое число футбольных матчей между двумя командами в одинаковых условиях.
Обобщая все вышеизложенное, можно сказать, что в начале курса учащиеся должны:
1) познакомится с понятиями случайных исходов испытаний, научится определять множество исходов единичных испытаний и исходы, благоприятствующие наступлению конкретных случайных событий;
2) познакомится с понятиями статистической частоты и вероятности, с методом оценки вероятности через статистические испытания;
3) научится вычислять вероятности исходов и событий по формулам (1) и (2).
Далее изучаются серии из двух единичных испытаний: два подбрасывания монеты, последовательное извлечение двух шаров из урны, два выстрела по мишени и т.д. В рассматриваемом курсе серии испытаний называются совместимыми испытаниями, а их результаты – исходами совместных испытаний. Совместные испытания разделяются нанезависимые и зависимые. Эти понятия вводятся на простых примерах урновых испытаний с возвращением и без возвращения шара в урну.
В урне три шара с номерами 1,2 и 3. Из урны последовательно извлекают два шара. Эти испытания можно проводить двумя способами.
Ι способ: извлекают первый шар (первое испытание), записывают его номер, шар кладут обратно в урну. Затем шары перемешивают в урне и извлекают второй шар (второе испытание). В этом случае результаты испытаний никак не влияют друг на друга, и такие испытания называются независимыми.
ΙΙ способ: извлекают первый шар, но в урну его не возвращают, а сразу за ним извлекают второй шар. В этом случае исходы второго испытания зависят от того, какой исход имел место в первом испытании. Если, например, в первом испытании извлекли шар №2, то во втором испытании этот шар появится уже не может. Такие испытания называются зависимыми.
Зависимость испытаний друг от друга приводит к зависимости исходов и событий, которые могут произойти в этих испытаниях.
Если проводятся два независимых друг от друга испытания, и в первом испытании возможно наступление события А, а во втором – события В, то события А и В – независимые. В этом случае для них справедлива теорема умножения вероятностей:
P(A,B)=P(A)*P(B). (3)
Для примера снова обратимся к урновым испытаниям, описанным выше, с возвращением шара в урну.
Пусть событие А – первым достали шар №1.Это событие связано с первым испытанием и его вероятность равна 
Пусть событие В – вторым достали шар №2. Это событие связано со вторым испытанием и его вероятность также равна 
Первое и второе испытания независимые, поэтому события А и В – независимые, и вероятность, что они произойдут вместе, согласно формуле (3), равна 
Если же проводятся зависимые испытания, и второе испытания зависит от первого испытания, то событие В зависит от события А. В этом случае для события В вводится условная вероятность 
и теорема умножения вероятностей принимает вид:
P(A,B)=P(A)* 
(4)
Таким образом, в урновых испытаниях без возвращения шара в урну событие В(вторым достали шар №2) зависит от события А(первым достали шар №1), а вероятность 
рассчитывается по формуле (4).
Формулы (3) и (4) позволяют вычислять вероятности исходов совместных испытаний. Эти исходы представляют собой возможные комбинации исходов единичных испытаний, записанные в определенном порядке.
Вероятность любого события, которое может произойти в совместных испытаниях, равна сумме вероятностей всех комбинаций, которые благоприятствуют этому событию. А это означает, что вероятностные задачи на совместные испытания можно сводить к построению множества исходов этих испытаний и вычислению вероятностей исходов по формулам (3) и (4). Если все исходы испытаний и их вероятности известны, то найти вероятность интересующего события не составляет труда. В настоящем курсе учащиеся учатся определять множество исходов совместных испытаний, строя таблицы исходов и вероятностные графы.
Таблицы исходов строятся для независимых испытаний.
Пример 5. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадения для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Чему равна вероятность поражения мишени?
Решение. Пусть событие А – мишень поражена, а исход П – попадание в мишень, исход М – промах. Тогда множество исходов двух совместных испытаний (выстрел по мишени каждым из стрелков) содержит четыре элемента (рис.5).
Рис. 5.
Составим таблицу исходов этих испытаний.
В первый столбец таблицы записаны исходы выстрела первого стрелка, а в первую строку – исходы выстрела второго стрелка. Остальные клетки таблицы заполняются комбинациями исходов единичных выстрелов. Вероятность этих комбинаций (исходов совместных испытаний) подсчитывается по формуле (3). Затем определяются, какие комбинации благоприятствуют событию А, и складываются вероятности этих комбинаций:
Р(А)=р(П,М)+р(М,П)+р(П,П)=0,14+0,24+0,56=0,94.
 2
1
| П (0,8) | П (0,2) |
| П (0,7) | П, П (0,7*0,8=0,56) | П, М (0,7*0,2=0,14) |
| М (0,3) | М, П (0,24) | М, М (0,06) |
Задачи на зависимые совместные испытания решаются построением вероятностных графов.
Пример 6. Из урны, где лежат три белых и четыре черных шара, наугад без возвращения один за другим извлекают два шара. Какова вероятность того, что извлекут разноцветные шары?
Решение. Пусть событие А – извлечение разноцветных шаров, исход Ч – извлечение черного шара, Б – извлечение белого шара.
В урне 7 шаров. (Ч,Ч)
Извлекают (Ч,Б) А
Ч Б первый шар.
В урне 6 шаров. (Б,Ч)
Извлекают второй шар. (Б,Б)
Ч Б Ч Б
Рис. 6.
Р(А)= 
Поясним приведенное решение. Стрелки вероятностного графа (рис.6) изображают возможные исходы испытаний, обозначения которых ставятся возле концов стрелок. В нашем случае – это буквы Ч и Б. Рядом со стрелками записываются соответствующие безусловные или условные вероятности. Каждая цепочка стрелок изображает один из исходов совместных испытаний – одну из возможных комбинаций извлечения из урны шаров: (Ч,Ч), (Ч,Б), (Б,Ч), (Б,Ч). По формуле (4) вероятности этих комбинаций получаются перемножением безусловных и условных вероятностей, записанных вдоль цепочек. Извлечению разноцветных шаров благоприятствуют исходы (Ч,Б) и (Б,Ч). сложив их вероятности, найдем искомую вероятность Р(А).
Построением таблиц и вероятностных графов можно решать и более сложные задачи, когда проводятся три, четыре и даже пять совместных испытаний. Например, до пяти раз подбрасывают монету или из урны без возвращения извлекают три шара. Уровень таких задач достаточно высок для средней школы, и учащиеся, овладевшие алгоритмами построения таблиц и графов, успешно с ним справляются [24].
Школьникам предлагается также решать обратные задачи о нахождении вероятностей гипотез по предварительно заданной информации. Вероятность гипотезы вводится расширением понятия условной вероятности.
Напомним, что условная вероятность была введена для зависимых событий при рассмотрении совместных зависимых событий. Однако при проведении любых испытаний можно сделать предположение (выдвинуть гипотезу) о возможности наступления любого конкретного события А, если заранее известно, что в этих испытаниях наступило (или, наступит), например событие В. Тогда вероятность, что это предположение оправдается (вероятность гипотезы), есть условная вероятность 
, вычисляемая по формуле
= 
В заключение хочется подчеркнуть, что учащимся 5 – 9 классов вполне по силам изучение элементов теории вероятностей на примерах простых испытаний с небольшим числом исходов. Математический аппарат, которым они должны предварительно овладеть – школьный курс арифметики. А предлагаемая аксиоматика, алгоритмы построения таблиц исходов испытаний и вероятностных графов доступны для школьного понимания.
Алгебра событий
После того как учащиеся познакомятся с элементарными понятиями теории вероятностей: события, достоверные и невозможные события, противоположное событие, несовместные события, независимые события – и научатся вычислять вероятность события на основе классического определения вероятности, полезно потренировать школьников в употреблении терминов, относящихся так называемой алгебре событий. При этом имеет смысл установить связь между алгеброй событий и алгеброй множеств. Понятие множеств учащимся интуитивно ясно. Не вызывает трудности и тренировка в операциях над множествами: включение, объединение, пересечение, дополнение. Представления об этих операциях лежат в основе всей математики и, в частности, в основе теории вероятностей. Достаточно посвятить им одно - два занятия, и учащиеся уже хорошо ориентируются в операциями над множествами. Теоретико-множественные представления можно призвать на помощь при обучении языку алгебры событий [23].
Для того чтобы установить параллель между языком теории множеств и языком алгебры событий, полезно составить вместе с учащимися таблицу, которая приведена ниже.
С помощью таблицы и рисунка целесообразно разобрать с учащимися задания по тематике, описывающей ряд однотипных испытаний. Но сначала необходимо ввести обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Представим себе три одинаковые урны, в каждой из которых лежат неразличимые на ощупь белые и черные шары.
| Обозначения | Интерпретация
Теории множеств Теории вероятностей | |
| Ω | Элемент, точка | Исход, элементарное событие |
| Универсальное множество, т.е. множество всех рассматриваемых точек | Достоверное событие исходов, т.е. множество всех элементарных событий |
| Ø | Пустое множество | Невозможное событие |
| A,B | Подмножество универсального множества | Случайное событие |
| A=B | Подмножества А и В равные | События А и В равносильные |
A  B
| Объединение множеств А и В, т.е. множество точек, входящих или в А, или и В | Событие, состоящее в том, что произошло А или В |
| A+B | Сумма множеств, т.е. объединение непересекающихся множеств | Событие, состоящее в том, что произошло одно из несовместных событий либо А, либо В |
A  B;AB
| Пересечение множеств А и В, т.е. множество точек, входящих и в А, и в В | Событие, состоящее в том, что одновременно произошли события А и В |
| A B= Ø
| Множество А и В не пересекаются | События А и В несовместны( не могут наступать одновременно) |
| A\B | Разность множеств А и В, т.е. множество точек, входящих в А, но не входящих в В | Событие, состоящее в том, что произошло А, но не произошло В |
| A∆B | A∆B=(A\B)  (В\А)
| Событие, состоящее в том, что произошло одно из событий А или В, но не оба одновременно |
Рассматриваются такие события (гипотезы):
H1 - выбрали первую урну,
H2 - выбрали вторую урну, A - вынули из урны белый шар,
H3 – выбрали третью урну, 
- вынули из урны черный шар
Задача 1. Запишите с помощью символов следующие события.
1) выбрали либо первую, либо вторую урну;
2) выбрали какую – то одну урну;
3) выбрали не первую урну;
4) белый шар вынули из второй урны;
5) черный шар вынули из третей урны;
6) белый шар вынули не из первой урны;
7) из какой – то урны выбрали черный шар.
Ответ. 1) H1+H2;
2) H1+H2+H3;
3) 
= H2+H3;
4) A H2;
5) 
;
6) A 
=A(H2+ H3);
7) 
( H1+H2+H3).
Задача 2. Дайте словесное толкование следующим событиям:
1. а) AH1; б) H2; в) 
.
2. а) AH1+AH2+AH3; б) H1+ H2+ 
H3.
3. а) (A\H1) 
(H1\A); б)( \H2) 
(H2\ ).
Ответ.1. а) Белый шар вынули из первой урны;
б) черный шар вынули из второй урны;
в) черный шар вынули не из третьей урны
2. а) Белый шар вынули либо из первой, либо из второй, либо из третьей урны;
б) черный шар вынули либо из первой, либо из второй, либо из третьей урны;
3. а) Либо вынули белый шар не из первой урны, либо из первой урны вынули черный шар;
б) либо вынули черный шар не из второй урны, либо из второй извлекли белый шар.
Задача 3.установите, верны ли равенства:
а) H1+H2+H3=W;
б) А+ =W;
в) А = Ø – и дайте им словесное толкование.
Ответ. Все равенства верны.
а) выбрали либо первую, либо вторую, либо третью урну. По условию испытания это событие достоверное;
б) достоверное, что вынули либо черный, либо белый шар;
в) вынутый шар не может быть одновременно и белым и черным.
На этом этапе, когда язык алгебры событий учащимися достаточно усвоен, вводятся теоремы сложения и умножения вероятностей, после которых следуют приведенные ниже упражнения.
Задача 4. Известно, что в каждой из трех урн число белых шаров равно числу черных (например, см. рисунок). Подсчитайте указанные ниже вероятности при условии, что шар извлекается наугад из наугад выбранной урны.
1.P(H1), P(H2), P(H3).
2.P(H1+H2+H3).
3.P(A), P( ).
4.P(AH3),P( H1).
Ответ. 1. P(H1)= P(H2)= P(H3)= 
- вероятность того, что выбрана первая (вторая, третья) урна.
2. P(H1+H2+H3)= + = =1 – вероятность того, что выбрана одна из урн, равна вероятности достоверного события, т.е. 1.
3.P(A)= P( )= 
- вероятность того, что будет вынут белый (черный) шар.
4. P(AH3)=P( H1)= 
* = 
вероятность того, что будет извлечен белый шар из третьей урны (черный шар из первой урны).
Следующий этап - изучение условной вероятности, т.е. вероятности события А, если известно, что оно может наступить, если прежде произошло одно из событий H1,H2,H3.
В этом месте также необходимо потренироваться в правильном употреблении терминов и символов.
Задача 5. Запишите словами, в чем состоят указанные ниже события, и вычислите их вероятность.
а) A\H1; б) 
\H2; в) \ 
.
Ответ. а) выбрали первую урну, а затем из нее извлекли белый шар,
P(A\H1)= 
б) выбрали вторую урну, а затем из нее вынули черный шар,
P( \H2)= 
;
в) выбрали первую либо вторую урну, а затем из какой –то из них достали черный шар,
P( 
\ 
)= 
Изучив понятие условной вероятности, есть возможность перейти к формуле полной вероятности.
Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) H1,H2,H3, образующих полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Р(А)=P(H1)P(A\H1)+P(H2)P(А\H2)+P(H3)P(А\H3) – формула полной вероятности. Рассмотренная проблематика позволяет связать ее с более сложным вопросом, к которому обычно приступают много позже. Речь идет о формуле Байеса. Объединяя изучения формулы полной вероятности и формулы Байеса, преподаватель достигает настоящего укрупнения дидактических единиц и получает возможность лучше разъяснить ситуации, связанные с обеими формулами. В самом деле, формула полной вероятности употребляется для подсчета вероятности предложения о том, что событие А может наступить, а формула Байеса применяется тогда, когда событие А наступило.
Пусть известно, что:
а) событие А может наступить при условии появления одного из событий H1,H2,H3, образующих полную систему событий;
б) известны условные вероятности P(A\H1), P(А\H2), P(А\H3) события А относительно всех событий Н1,Н2,Н3.
В результате испытание оказалось, что событие А произошло. Какова вероятность того, что оно наступило вместе с событием Нi, где I=1,2,3. другими словами, найти вероятность P(H1\A), P(H2\ А), P(H3\ А).
Эту задачу решает формула Байеса:
P(H1\A)= 
,
где I=1,2,3.
Итак, показанная линия изучения основ теории вероятностей на базе средней школы, на этой теме завершается. Материал параграфов 1,2,3 может быть рассмотрен в классе со всеми учащимися, а 4 параграф при более углубленном изучении – на кружке или факультативе.
Дата: 2019-12-22, просмотров: 265.
