Понятие эвристики и особенности применения эвристики в математике

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Содержание

Введение. 3

1. Понятие эвристики и особенности применения эвристики в математике. 6

1.1. Понятие доказательства в математике. 6

1.2. Эвристика как метод научного познания. 10

1.3. Эвристический подход к построении математических доказательств в рамках логического подхода. 19

2. Эвристические приемы построения математических доказательств. 23

2.1. Эвристический метод построения математических доказательств. 23

2.2. Особенности применения эвристического подхода при доказательстве теорем 28

Заключение. 39

Список литературы.. 42

Введение

Логическое доказательство математических построений известно еще с Древней Греции. Греческие математики пифагорейской школы уже в VI—V веках до нашей эры делали попытки расположить цепь математических доказательств в определенную последовательность, чтобы переход от одного понятия к другому не вызывал ни у кого никаких сомнений. Этот «дедуктивный» метод получил дальнейшее развитие у Эвклида, Архимеда и Апполония. Понятие доказательства у них уже ни в чем существенном не отличается от нашего. Математика и, в частности, геометрия, стала наукой лишь тогда, когда в ней начали систематически применять логические доказательства, когда ее положения стали выводить не только путем непосредственных измерений, но и при помощи умозаключений, когда те или иные ее положения начали устанавливать в общем виде.

Обобщенные приемы умственной деятельности делятся на две большие группы — приемы алгоритмического типа и эвристические. Остановимся сначала на характеристике приемов алгоритмического типа.

Это приемы рационального, правильного мышления, полностью соответствующего законам формальной логики. Точное следование предписаниям, даваемым такими приемами, обеспечивает безошибочное решение широкого класса задач, на который эти приемы непосредственно рассчитаны. Формирование приемов мыслительной деятельности алгоритмического типа, ориентирующих на формально-логический анализ задач, является необходимым, но не достаточным условием развития мышления. Необходимо оно, во-первых, потому, что содействует совершенствованию репродуктивного мышления, являющегося важным компонентом творческой деятельности (особенно на начальном и конечном этапах решения проблем). Во-вторых, эти приемы служат тем фондом знаний, из которых ученик может черпать « строительный материал» для создания, конструирования методов решения новых для него задач. Недостаточным формирование алгоритмических приемов является потому, что не соответствует специфике продуктивного мышления, не стимулирует интенсивное развитие именно этой стороны мыслительной деятельности.

Эвристические методы решения задач - это система принципов и правил, которые задают наиболее вероятностные стратегии и тактики деятельности решающего, стимулирующие его интуитивное мышление в процессе решения, генерирование новых идей и на этой основе существенно повышающие эффективность решения определенного класса задач.

Эвристические приемы непосредственно стимулируют поиск решения новых проблем, открытие новых проблем, открытие новых для субъекта знаний и тем самым соответствуют самой природе, специфике творческого мышления. В отличии от приемов алгоритмического типа, эвристические приемы ориентируют не на формально-логический, а на содержательный анализ проблем. Они направляют мысль решающих на проникновение в суть описываемого в условии предметного содержания, на то, чтобы за каждым словом они видели его реальное содержание и по нему судили о роли в решении того или иного данного. Многие эвристические приемы стимулируют включение в процесс решения проблем наглядно-образного мышления, что позволяет использовать его преимущество перед словесно логическим мышлением — возможность целостного восприятия, видения всей описываемой в условии ситуации. Тем самым облегчается течение характерных для продуктивного мышления интуитивных процессов.

Целью данной работы является рассмотрение эвристических логических подходов к построению доказательств.

В работе поставлены следующие задачи:

- рассмотреть понятие доказательства в математике и его особенности;

- рассмотреть эвристику как метод научного познания;

- рассмотреть особенности эвристического подхода в рамках логического;

- рассмотреть эвристические приемы построения математических доказательств.

При написании работы были использованы труды таких авторов, как Серебряникова О.Ф., Лакатоса И., Писаревского Б. М., Заесенок В. П., Саранцева Г.И., Беляева Е.А, Перминова В.Я., Калошиной И.П., Миничкиной Н.В., Харичевой Г.И., Миничкиной Н.В., Адамара Ж., Белла Э.Т., Биркгофа Г., Болтянского В.Г., Куранта Р., Робинса Г., Шакурова Р.Х.

Заключение

В работе в соответствии с поставленной целью решены следующие задачи:

- рассмотрено понятие доказательства в математике и его особенности;

- рассмотрена эвристика как метод научного познания;

- рассмотрены особенности эвристического подхода в рамках логического;

- рассмотрено применение эвристических логических подходов к построению математических доказательств при изучении математики.

По работе можно сделать следующие выводы:

Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность какого-либо утверждения.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках.

Если все известные методы решения задач разделить по признаку доминирования логических эвристических (интуитивных) процедур и соответствующих им правил деятельности, то можно выделить две большие группы методов:

а) логические методы - это методы, в которых преобладают логические правила анализа, сравнения, обобщения, классификации, индукции, дедукции и т. д.;

б) эвристические методы.

Для того чтобы разобраться более глубоко в том, что понимать под эвристическими методами, следует обратить внимание на то, что метод словесно можно представить в виде некоторой системы правил, то есть описания того, как нужно действовать и что нужно делать в процессе решения задач определенного класса. Из разнообразного набора правил деятельности в решении задач принципиально можно выделить два больших класса предписаний: алгоритмы или алгоритмические предписания и эвристики - эвристические предписания. Если алгоритмы жестко детерминируют наши действия и гарантируют в случае их точного выполнения достижение успеха в решении соответствующего типа задач, то эвристики и эвристические предписания лишь задают стратегии и тактике наиболее вероятное направление поиска идеи решения, но не гарантируют успеха решения.

Эвристикой называют совокупность приемов и методов, облегчающих и упрощающих решение познавательных, конструктивных, практических задач. Эвристикой называют также специальную научную область, изучающую специфику творческой деятельности. Эвристические методы противопоставляются рутинному, формальному перебору вариантов по заданным правилам. В сущности, при решении любой задачи человек всегда использует те или иные методы, сокращающие путь к решению, облегчающие его нахождение. Напр., при доказательстве теорем геометрии мы обычно используем в качестве эвристического средства чертеж; решая математическую задачу, мы стараемся вспомнить и использовать решения других похожих задач; в качестве эвристических средств используются общие утверждения и формулы, индуктивные методы, аналогии, правдоподобные умозаключения, наглядные модели и образы, мысленные эксперименты и т. п.

Использование эвристических подходов при построении математических доказательств помогает не только преобразовывать существующую информацию и сохранять ее истинностное значение, но и искать новую информацию с помощью особых форм рассуждения. Применение эвристических подходов в математике предполагает использование обобщения и аналогии, наглядной выразительности математических объектов, унификацию и разнообразные приложения тех или иных математических фактов и закономерностей, всесторонний анализ изучаемых ситуаций, минимально возможную субъективную сложность, требуемой для достижения того или иного результата, поиск различных способов решения задачи и выбору из них наиболее изящного, полную логическую обоснованность и доказательность, склонность к поиску различных моделей рассматриваемых ситуаций, общность исходных гипотез, различных приложений изучаемых фактов.

Список литературы

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. — М., 1970.

2. Белл Э.Т. Творцы математики. — М., 1979.

3. Беляев Е.А, Перминов В.Я. «Философские и методологические проблемы математики», МГУ, 1981, - 214 с.

4. Биркгоф Г. Математика и психология. — М., 1977.

5. Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика. — // Математика в школе, № 2/1982, с. 40–43.

6. Заесенок В. П. Эвристические приемы решения логических задач // Математика в школе. - 2005. - N 3.

7. Калошина И.П., Миничкина Н.В. Логические приемы мышления как условие самостоятельной разработки студентами способов доказательства теорем. - В кн.: Подготовка учителя математики в университете. Саранск, 1984, c.22 - 33.

8. Калошина И.П., Харичева Г.И. Логические приемы мышления при изучении высшей математики. - Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, 1978. - 128 с.

9. Курант Р., Робинс Г. Что такое математика? — М., 1967.

10. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1967.

11. Миничкина Н.В. Формирование логических приемов мышления как условия самостоятельной познавательной деятельности студентов. - Дис. ... канд. пед. наук. Саранск, 1984.-268 с.

12. Писаревский Б. М. Задачи по стереометрии. Правильная пирамида // Математика в школе. - 2005. - N 3.

13. Саранцев Г.И.Обучение математическим доказательствам в школе: Книга для учителя. – М.: "Просвещение" – 2000. - 173 с.

14. Серебряников О.Ф. Эвристические принципы и логическое мышление. М.: 1979.

15. Шакуров Р.Х. Эмоция. Личность. Деятельность (механизмы психодинамики). — Казань, 2001.

16. Эвристические приемы при построении доказательств //Математика в школе», 1981. - № 4/1981, с. 69

[1] Серебряников О.Ф. Эвристические принципы и логическое мышление. М.: 1979. – с. 111

[2] Серебряников О.Ф. Эвристические принципы и логическое мышление. М.: 1979. – с. 48-49.

[3] Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1967. – с. 84.

[4] Белл Э.Т. Творцы математики. — М., 1979. – с. 63.

[5] Биркгоф Г. Математика и психология. — М., 1977. – с. 54.

[6] Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика. — // Математика в школе, № 2/1982, с. 40–43.

[7] Шакуров Р.Х. Эмоция. Личность. Деятельность (механизмы психодинамики). — Казань, 2001. – с. 87

[8] Эвристические приемы при построении доказательств //Математика в школе», 1981. - № 4/1981, с. 69

[9] Курант Р., Робинс Г. Что такое математика? — М., 1967. - с. 88

[10] Шакуров Р.Х. Эмоция. Личность. Деятельность (механизмы психодинамики). — Казань, 2001. – с. 88

[11] Эвристические приемы при построении доказательств //Математика в школе», 1981. - № 4/1981, с. 69