Рассмотрим сначала общую задачу расчета будущей (наращенной) стоимости потока платежей. Введем обозначения:

R_t – размер платежа, осуществляемого в период t;

n – общий срок выплат (операции).

Необходимо определить наращенную на конец срока сумму потока платежей, если проценты начисляются раз в году по сложной ставке i.

FV = ∑ R_t*(1+i)^n-t.

Современная стоимость такого потока платежей:

PV = ∑ R_t /(1+ i ) ^t .

Зная современную стоимость потока, можно рассчитать его будущую стоимость и наоборот: FV = PV *(1+ i ) ⁿ .

Теперь рассмотрим случай годовой ренты (аннуитета) постнумерандо. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится сумма R (соответственно, номера платежей t меняются от 1 до n). На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. На первый член проценты начисляются n-1 лет, на второй n-2 и т.д., на последний – n-n=0 лет, т.е. все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты. Наращенная сумма каждого взноса к концу срока составит:

Запишем получившийся ряд членов в обратном порядке:

R, R(1+i)¹, R(1+i)², …, R(1+i)^n-2, R(1+i)^n-1

Он представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменателем (1+i). Число членов прогрессии равно n. Используя формулу для расчета суммы n первых членов геометрической прогрессии, получим:

[ геом. прогрессия:  a, aq, aq², aq³ …

   a_n = aq^n-1          S_n = a  ]

Множитель  называется коэффициентом наращения ренты (аннуитета), или мультиплицирующим множителем для аннуитета, обозначается FM3(n, i). Он представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1. Значение множителя для различных величин i и n табулировано (рассчитано и представлено в специальных финансовых таблицах). Т.о., FV = R* FM3(n, i).

ПРИМЕР: Для обеспечения будущих расходов создается фонд. В течение 4 лет в конце каждого года на специальный счет поступает 50 000 д.е. (постоянная годовая рента постнумерандо). На поступившие взносы начисляются сложные проценты по ставке 10% годовых. Определить величину фонда на конец срока.

Или FV = R * FM3(n, i) = 50000 * 4.641 = 232 050 д.ед.

Приведенная выше формула может использоваться для расчетов при условии осуществления платежей и начисления процентов 1 раз в год (p=m=1).

Годовая рента, начисление процентов m раз в году ( m > p , p =1).

В данном случае ежегодный платеж будет наращиваться с учетом внутригодовых начислений. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами перепишем в обратном порядке:

R, R(1+j/m)^m, R(1+j/m)^2m, …, R(1+j/m)^(n-2)m, R(1+j/m)^(n-1)m,

где j – номинальная годовая ставка процента.

Снова имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R, знаменатель - (1+j/m)^m. Сумма членов этой прогрессии составляет:

Рента р-срочная, годовое начисление процентов (р> m , m =1).

Пусть рента выплачивается p раз в году равными суммами, процент начисляется раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p. Общее число членов ренты равно np. Последовательность членов ренты с начисленными процентами представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее равен R/p, знаменатель – (1+i)^1/p. Сумма членов этой прогрессии будет равна:

Рента р-срочная,  начисление процентов m раз в году (р= m >1).

Случаи, когда число выплат в году равно числу начислений процентов, на практике встречаются наиболее часто. Для получения необходимой формулы воспользуемся исходной  , в которой i заменим на j/m (ставка за период), вместо числа лет подставим число периодов выплаты ренты nр. Так как R – годовой платеж, то член ренты равен R/p. Поскольку р = m, в итоге получим:

Рента р-срочная, начисление процентов m раз в году (р≠ m ).

Этот случай является наиболее общим, а вышеперечисленные – его частными вариантами. Общее количество членов ренты равно np, величина члена ренты R/p. Члены ренты с начисленными процентами образуют геометрическую прогрессию с первым членом R/p и знаменателем (1+j/m)^m/p. Сумма членов такой прогрессии составит: