Рассматривая динамику кислородного режима водотоков следует принимать во внимание, что в водотоках одновременно происходит, с одной стороны, потребление кислорода на минерализацию органических веществ, а с другой – пополнение его за счёт растворения кислорода, поступающего с поверхности водного зеркала, т.е. так называемая реаэрация.

Процесс потребления кислорода определяется уравнением или формулой [23]:

 = - k ₁ t                            (3)

Процесс реаэрации определяется формулой:

 = - k ₂ t                (4)

Здесь : L_а – БПК_полн. в начальный момент процесса потребления кислорода, мг/дм³;

       L _t – БПК_полн. по прошествии времени t, мг/дм³;

    D_a – дефицит растворённого кислорода в начальный момент у места поступления

      в реку органических веществ, мг/дм³;

    D_t – дефицит растворённого кислорода по прошествии времени t, мг/дм³;

    k ₁ – константа скорости потребления кислорода (БПК) при данной температуре

     воды;

  k ₂ – константа реаэрации кислорода при данной температуре воды;

   t - время, в течении которого идут потребление и реаэрация кислорода, сутки.

При одновременном действии обоих процессов во взаимно противоположном направлении один уменьшает количество растворённого кислорода, а другой увеличивает до степени насыщения, окончательная скорость дефицита кислорода может быть выражена уравнением баланса кислорода:

= k^′₁ L_t - k^′₂ D_t                  (5)

после интегрирования которого получим уравнение дефицита кислорода (Стриттера-Фельпса) по прошествии времени t: 

             (6)

На рисунке 4.1 представлена схема изменения кислородного баланса при одновременном протекании процессов потребления и растворения кислорода. Очевидно, что общее содержание растворённого кислорода сначала падает до известного минимума (пункт наблюдения наивысшей концентрации взвешенных веществ), а затем, примерно с четвёртого дня начинает возрастать. Место наименьшего содержания кислорода на кривой 3 носит название кислородного прогиба (критическая точка).

Рисунок 4.1 ‑ Схема изменения кислородного баланса

1 – степень потребления кислорода без реаэрации по уравнению (3); 2 – процесс реаэрации по уравнению (4); 3 – баланс кислорода рассчитывается по уравнению (5); А – критическая точка максимального дефицита кислорода; Б – точка максимальной скорости восстановления кислорода

Во многих случаях при Т=20⁰ С коэффициент  k₂ = 0,2, т.е. вдвое больше константы k₁. На неглубоких участках реки при наличии быстрого течения и других условий, способствующих хорошему перемешиванию, значение k₂ может быть значительно (иногда в 10 раз) больше величины k₁.

По имеющимся исследованиям можно принимать следующие значения k₂:

Время t_кр., соответствующее минимуму содержания кислорода, можно определить из уравнения (4) приравниванием нулю первой производной этого уравнения по t .

,                          (7)

откуда

.                         (8)

После определения t_кр., можно, зная L _a и D _a, определить из того же уравнения (4) D _t, а следовательно, и минимальное содержание кислорода. Допустимый уровень в нашем случае 4 мг/дм³.

Кислородный режим реки зависит от температуры. При повышении температуры воды скорость потребления кислорода возрастает, а так как скорость реаэрации при этом почти не изменяется, то летом минимум содержания кислорода наступает быстрее и содержание кислорода в реке будет меньше. Принимая к тому же во внимание, что растворимость кислорода в воде летом уменьшается, следует признать летние условия в отношении содержания кислорода в реке менее благоприятными, чем зимние (при отсутствии ледяного покрова). Ледяной покров в зимнее время почти приостанавливает реаэрацию, и содержание кислорода может очень сильно уменьшиться.

На рисунке 4.2 показано изменение содержания кислорода в воде реки при различных температурах.

Рисунок 4.2 - Влияние температуры на изменение содержания растворенного кислорода

1 – при температуре 5 ^оС; 2 – то же, 10 ^оС; 3 – то же, 20 ^оС; 4 – то же, 30 ^оС

Начальный дефицит принят во всех случаях равным нулю. Первоначальная величина БПК₅ условно принята равной 20 мг/дм³. При температуре 20^о С константы k₁ = 0,1 и k₂ = 0,2.

Максимальный дефицит при температуре 5 и 30^о С наблюдается соответственно через 5,5 и 2,5 дня, причём значение дефицита кислорода в первом случае достигает 4 мг/дм³, а в последнем - 6 мг/дм³.

Большое значение на содержание растворённого кислорода в водоёме оказывает и величина начального содержания органического вещества. На рисунке 4.3 показаны кривые изменения содержания кислорода в воде водоёма, вычисленные по формуле (4) для первоначальной L _a, равной 2, 5, 10, 20, 30 и 40 мг/дм³. Во всех случаях начальный дефицит кислорода принят одинаковым - около 1 мг/дм³, а температура 20^о С.

Рисунок 4.3 - Влияние первоначальной БПК и коэффициента реаэрации на изменение

содержания растворенного кислорода

1 - L_a=2, k₂=0,2; 2 - L_a=5, k₂=0,2; 3 - L_a=10, k₂=0,2; 4 - L_a=20, k₂=0,2; 5 - L_a=30, k₂=0,2;

6 - L_a=40, k₂=0,2; 7 - L_a=20, k₂=0,8; 8 - L_a=40, k₂=0,8

Из рассмотрения рисунка 4.3 и формулы (6) видно, что время до наступления минимума содержания кислорода при прочих равных условиях увеличивается с возрастанием начальной величины БПК (L_a), но увеличение это незначительно и время наступления минимума колеблется от 2 до 3 дней. Из этой же формулы можно видеть, что время наступления минимума содержания кислорода будет тем меньше, чем больше начальный дефицит кислорода D_a. Время это, а следовательно, и расстояние критической точки от начального места смыва органических веществ, зависят главным образом от температуры.

От начальной БПК значительно зависит величина падения содержания кислорода. Как видно из рисунка 4.3 и формулы (6), дефицит кислорода в критической точке D _кр. возрастает почти прямо пропорционально начальной БПК (L_a).

При плохих условиях реаэрации, т.е. при небольшом значении коэффициента k₂ и высокой температуре воды летом, дефицит кислорода D_t может дойти до полного, т.е. растворённый кислород на некотором участке водотока может отсутствовать полностью. Из рисунка 4.3 видно, что такие условия наступают, например, при L_a = 40 мг/дм³ и k₂ = 0,2. В этом случае, даже при учёте одновременного потребления и растворения кислорода, содержание его в воде водотока падает до нуля. На рисунке это выражается тем, что кривая содержания кислорода пересекается с осью абсцисс, соответствующей полному отсутствию растворённого кислорода или дефициту его при температуре речной воды 20^о С, равному 9,17 мг/дм³. С другой стороны, при хорошей реаэрации, превышающей потребление кислорода и незначительном начальном содержании органических веществ, может оказаться, что снижения содержания растворённого кислорода не будет.

Из рисунка 4.3 видно, как велико значение константы растворения кислорода. При том же начальном значении L_a = 40 мг/дм³, но при k₂ = 0,8 дефицит кислорода составляет лишь 3,8 мг/дм³, и наименьшее содержание кислорода равно: 9,17 – 3,8 = 5,37 мг/дм³. Кроме того, момент наибольшего содержания органических веществ и начало возрастания кислорода наступают значительно раньше. Ввиду того, что скорость реаэрации пропорциональна дефициту кислорода, на такую величину реаэрации (k₂ = 0,8) рассчитывать не следует.

В этом случае скорость потребления кислорода в начальный период будет значительно превышать скорость его растворения за счёт реаэрации, и может наступить момент, когда дефицит кислорода будет больше расчётного и содержание его в воде упадёт ниже допустимого предела 4 мг/дм³.

При определении величины реаэрации водотоков вместо константы скорости кислорода k₂, исчисляемой на единицу объема, можно принимать коэффициент реаэрации А, исчисляемый на единицу площади поверхности, обычно в граммах кислорода на 1 м² площади поверхности водного объекта в сутки.

Коэффициент реаэрации сразу показывает содержание растворяющегося кислорода и поэтому может назван величиной реаэрации. Он главным образом зависит от дефицита кислорода в воде водоёма, но также, как константа скорости растворения, зависит от температуры и всех тех условий, которые влияют на перемешивание воды: от глубины, формы русла, скорости течения, наличия ветра и пр.

По эмпирическим данным, в разное время года величина коэффициента реаэрации в зависимости от дефицита кислорода и температуры колеблется от 0,5 до 5,0 г на 1 м² площади поверхности водного зеркала в сутки.

Если количество растворённого кислорода в начальном и конечном пунктах остаётся одинаковым и, следовательно всё снижение величины БПК на рассматриваемом участке происходит за счёт реаэрации, то средняя величина коэффициента реаэрации А может быть определена по формуле:

A = ,                                  (9)

где

Q – расход воды, м³/сутки;

L_a и L_t – БПК в начальном и конечном пунктах, г/м³;

F – площадь поверхности водного зеркала на всём протяжении участка от начального до конечного пункта, м².

На протяжении рассматриваемого участка этот коэффициент может меняться в зависимости, как указано выше, от дефицита кислорода и других причин.

По этой формуле можно определить величину участка реки на котором происходит окисление органических веществ, попавших в водный объект.

В приведённых выше расчётах следует учитывать не только количество взвешенных веществ, поступивших с территории водосбора (аллохтонное органическое вещество), но также и органическое вещество, которое может образоваться в результате продукционных процессов фито- и зоопланктона (автохтонное органическое вещество).