Доказательство частотных критериев устойчивости базируется на следствии из принципа аргумента. Рассмотрим, как он формулируется для дискретных систем.

Пусть задано характеристическое уравнение замкнутой системы

. (8)

Рассмотрим комплексную плоскость Z (рис. 7), пусть z₂ расположен внутри круга единичного радиуса, а z₁ вне него.

При этом

(9)

Если замкнутая система устойчива, то все корни расположены в пределах окружности единичного радиуса, а значит

(10)

Замкнутая дискретная система устойчива, если характеристическая кривая D*(jw) при изменении частоты 0 £ w £ p/T последовательно проходит 2n квадрантов.

Порядок построения характеристической кривой: определяем D(z); выполняем подстановку ; определяем выражение

;

изменяя 0 £ w £ p /T строим D*(j w ) (рис. 5).

а)                                                          б)

Рис. 5

Пример 8. Определить устойчивость по критерию Михайлова системы, схема которой приведена на рис. 6, если T = 1 с, k_v = 2 c^-1.

-

Рис.6

Решение: Передаточная функция разомкнутой системы

.

Передаточная функция разомкнутой дискретной системы

.

Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в форме z– преобразования

Передаточная функция замкнутой дискретной системы в форме z – преобразования

 .

Характеристический полином имеет вид

.

Определяем выражение

Изменяя частоту в пределах 0 £ w £ p (0 £ w £ p/T) строим годограф Михайлова (рис. 7).

Таблица 1

Как видно из рисунка система находится на границе устойчивости.

Проверим по критерию Гурвица при

k_vT = 2; z+1 = 0; z₁ = -1; 1 z₁1=1.

Корень находится на окружности единичного радиуса, следовательно, система находится на границе устойчивости.

Критерий устойчивости Михайлова с использованием билинейного преобразования

При этом исходным является характеристический полином в форме z-преобразования. Выполним подстановку

z = (1+w)/(1-w) .

(11)

Пусть: w = j l, где l–фиктивная частота (0 £ l £ ¥).

При этом критерий Михайлова для дискретных систем применяется в таком же виде, как и для непрерывных систем.

Пример 9. Определить условие устойчивости по критерию Михайлова дискретной системы, схема которой приведена на рис. 6.

Решение:

Характеристический полином имеет вид

.

Выполнив подстановку z = (1+w)/(1-w), в характеристический полином получим

.

Выполнив подстановку w = j l, в характеристический полином получим

Строим график рис. 8. Система устойчива при k_vT > 2. Критический коэффициент усиления равен k_{v кр} = 2/T.

Рис. 8