Раздел 1. Статика
1. Аксиомы статики. Следствие о переносе силы вдоль её линии действия.
1.1 АКСИОМА ИНЕРЦИИ. Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.
1.2 АКСИОМА РАВНОВЕСИЯ ДВУХ СИЛ. Две силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются только в том случае, если их модули равны и если они направлены по одной прямой в противоположные стороны.
1.3 АКСИОМА ПРИСОЕДИНЕНИЯ И ИСКЛЮЧЕНИЯ УРАВНОВЕШИВАЮЩИХСЯ СИЛ. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к нему присоединить или из нее исключить систему взаимно уравновешивающихся сил.
1.4 АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА СИЛ. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.
1.5 АКСИОМА РАВЕНСТВА ДЕЙСТВИЯ И ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
1.6 АКСИОМА СОХРАНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К ДЕФОРМИРУЮЩЕМУСЯ ТЕЛУ ПРИ ЕГО ЗАТВЕРДЕВАНИИ. Равновесие сил, приложенных к деформирующемуся телу, сохраняется при его затвердевании
СЛЕДСТВИЕ. Не изменяя кинематического состояния абсолютного твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменными ее модуль и направление
| 1) Дано тело, к которому приложена сила P̅ |
| P̅ |
| 2) По аксиоме о присоединении и исключении уравн. Сил добавим уравновешенную систему сил Q̅ и Q̅`. Причем Q̅ = P̅ по направлению и модулю. |
| P̅ |
| Q̅` |
| Q̅ |
| 2) Т.к. силы Q̅` и P̅ образуют уравновешивающую систему сил, то по аксиоме о присоединении и исключении уравн. Сил мы можем их исключить. |
| Q̅ |
| В итоге получим силу Q̅ равную по модулю и совпадающую по направлению с силой P̅, но приложенной к другой точке на линии действия силы P̅. Что и требовалось доказать. |
2. Условия равновесия системы сходящихся сил. Теорема об эквивалентности системы сходящихся сил одной силе. Аналитический способ определения равнодействующей.
Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке
| A̅ |
| B̅ |
| Силы A̅ и B̅ – сходящиеся. |
Если к телу приложено больше 2-х сходящихся сил, то их равнодействующая будет равна их геометрической сумме
| A̅` |
| B̅ |
| Силы А̅, B̅ и C̅ – сходящиеся. Если отложить их друг от друга, а затем соединить начало первого и конец последнего, то мы получим равнодействующую силу Q̅ |
| С̅ |
| B̅` |
| C̅` |
| A̅ |
| Q̅ |
| Для сил в одной плоскости |
| Для сил в пространстве (правило параллелепипеда) |
| C̅ |
| B̅ |
| A̅ |
| Q̅ |
| z |
| x |
| y |
2.1 Условия равновесия системы сходящихся сил.
Сходящиеся силы уравновешиваются в случае, если их равнодействующая равна нулю.
2.2 Теорема об эквивалентности системы сходящихся сил одной силе.
Систему сходящихся сил можно заменить на эквивалентную силу по правилу параллелограмма или треугольника
| Q̅ |
| A̅ |
| B̅ |
| A̅` |
| B̅` |
| Сила Q̅ – равнодействующая сил A̅ и B̅ Систему сил A̅ и B̅ можно эквивалентно заменить одной силой Q̅ |
| Q̅ |
| A̅ |
| B̅ |
| A̅` |
| B̅` |
| Правило параллелограмма |
| Правило треугольника |
2.3 Аналитический способ определения равнодействующей.
Пусть дано несколько сходящихся сил P̅1, P̅2, …, P̅n. Их равнодействующая равна их геометрической сумме.
P̅ = P̅1+P̅2+…+P̅n
Проекция равнодействующей на каждую из координатных осей равна алгебраической сумме проекций всех составляющих:
| X = X1+X2+…+Xn | Y = Y1+Y2+…+Yn | Z = Z1+Z2+…+Zn |
Где X, Y, Z – проекции P̅ на оси координат
Определив проекции вектора R на координатные оси, можем найти модуль и направление равнодействующей по формуле
R = 
3. Момент силы относительно точки.
3.1 Момент силы P̅ относительно точки O изображается вектором M0 приложенным в этой точке и направленный перпендикулярно плоскости, содержащей силу и точку, в такую сторону, чтобы смотря навстречу этому вектору, видеть силу P̅ стремящейся вращать эту плоскость в сторону, обратную вращению часовой стрелке
| P̅ |
| O |
| Наблюдатель |
| M0 |
| A |
3.2 Модуль вектора M0 равен произведению модуля силы P на ее плече d относительно точки O.
Плечо d является кратчайшим расстоянием от этой точки до линии действия силы.
3.3 Также, вектор момента сил можно рассматривать, как векторное произведение радиус вектора r̅, проведенного из точки O в точку приложения силы P̅ [A], и вектора силы P̅.
M0 = P̅ x r̅
3.4 При переносе силы вдоль линии её действия, момент относительно точки не изменяется
4. Момент силы относительно оси. Зависимость между моментами силы относительно оси и точки на этой оси.
4.1 Момент силы относительно оси.
Чтобы вычислить момент силы относительно оси z, следует спроецировать силу P̅ на плоскость α, перпендикулярную оси z, а затем вычислить момент ее проекции P̅1 на эту плоскость относительно точки O [пересечения оси z и плоскости α]
| z |
| P̅ |
| P̅1 |
| O |
| d1 |
| Mz |
| α |
| Наблюдатель |
Таким образом, моментом силы P̅ относительно оси z называется взятое со знаком «плюс» или «минус» произведение проекции P̅1 силы P̅ на плоскость перпендикулярную оси, на ее плече d1 относительно точки O пересечения оси с плоскостью:
Mz = ±P̅1*d1
Если, смотря навстречу оси z, видеть, что проекция P̅1 вращает плоскость α против часовой стрелки, то знак «+». Иначе «-»
Момент силы относительно оси равен 0, если:
1) P1 = 0, сила P̅ || оси z
2) d1 = 0, ось z проходит через силу P̅
3) Если сила P̅ и ось z лежат в одной плоскости [следствие из 1 и 2]
4.2 Зависимость между моментами силы относительно оси и точки на этой оси.
Установим зависимость между моментом силы относительно точки O и моментом силы относительно оси z
| z |
| P̅ |
| P̅1 |
| O |
| d1 |
| Mz |
| α |
| d |
| B |
| A |
| A1 |
| B1 |
| MO |
| γ |
Получим, что Mz = P̅1*d1 и MO = P̅ * d
Т.к. P̅1*d1 – соответствует удвоенной площади треугольника A1OB1, а
P̅ * d – удвоенной площади треугольника AOB.
Получим Mz = 2*S(▲A1OB1), MO = 2*S(▲AOB)
Т.к. ▲A1OB1 является проекцией ▲AOB на плоскость α, то площади ▲A1OB1 равна площади ▲AOB умноженной на косинус угла между плоскостями [cos(γ)].
Также угол между плоскостями [γ] равен углу между Mz и MO
[MO ┴ (AOB); Mz ┴ (A1OB1)]
Из всего выше сказанного получим:
S(▲A1OB1) = S(▲AOB) * cos(γ)
2*S(▲A1OB1) = 2*S(▲AOB) * cos(γ)
Mz = MO *cos (γ).
5. Пара сил. Момент пары сил. Теорема о сумме моментов сил пары..
5.1 Пара сил
Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил P̅ и P̅` называется парой сил.
| А |
| B |
| P̅` |
| P̅ |
5.2 Момент пары сил
Кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару, называют плечом пары сил.
Момент пары сил определяется произведением модуля одной из силы пары на ее плечо:
M = P*d [Н*м]
Вектор момента M пары P̅, P̅`направляют перпендикулярно плоскости действия пары сил в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть пару сил стремящейся вращать плоскость ее действия в сторону, обратную вращению часовой стрелки
| А |
| B |
| P̅` |
| P̅ |
| М |
| Наблюдатель |
5.3 Теорема о сумме моментов сил пары
Геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной им пары
Момент пары сил, эквивалентной данной системе пар сил в пространстве, равен геометрической сумме моментов составляющих пар сил:
M̅ = M̅1+M̅2+…+M̅n
Момент пары сил, эквивалентной системе пар сил на плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих пар
M = M1+M2+…+Mn
| P̅`3 |
| P̅3 |
| М3 |
| P̅`1 |
| P̅1 |
| М1 |
| P̅`2 |
| P̅2 |
| М2 |
6. Пара сил. Свойства пар. Сложение пар.
6.1 Пара сил.
[См 5.1]
6.2 Свойства пар
Плоскость, в которой находятся линии действия P̅ и P̅`, называется плоскостью действия пары сил
Пара сил не имеет равнодействующей, однако силы пары не уравновешиваются, так как они не направлены по одной прямой. Пара сил стремится произвести вращение твердого тела, к которому она приложена.
Пара сил, не имея равнодействующей, не может быть уравновешена силой.
6.3 Сложение пар
Сложение пары сил заключается в том, чтобы найти эквивалентную данным пару сил.
На плоскости:
Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их моменты численно равны и одинаковы по знаку.
В пространстве:
Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.
Следовательно, чтобы сложить пары сил нам необходимо найти геометрическую или алгебраическую сумму моментов данных пар.
| P̅1 |
| P̅`1 |
| M1 |
| P̅2 |
| P̅`2 |
| P̅`4 |
| P̅`4 |
| P̅3 |
| P̅`3 |
| M2 |
| M2 |
| M3 |
| M1 |
| M4 |
| M3 |
| M̅4 = M̅1+M̅2+M̅3 |
| P̅4 и P̅`4 – эквивалентная пара полученная сложением пар сил P̅1 и P̅`1, P̅2 и P̅`2, P̅3 и P̅`3 |
7. Главный вектор и главный момент произвольной системы сил. Аналитическое определение главного вектора и главного момента.
7.1 Главный вектор и главный момент произвольной системы сил
Геометрическая сумма всех сил системы называется главным вектором системы сил и в отличие от равнодействующей R̅ обозначается R̅*
Момент MO, равный геометрической сумме моментов всех сил системы относительно точки O, называется главным моментом системы сил относительно этой точки.
7.2 Аналитическое определение главного вектора и главного момента.
Главный вектор:
Известно, что R̅* = P1+P2+…+Pn
Обозначим X, Y, Z проекции главного вектора на оси координат и получим:
X = X1+ X2+…+Xn
Y = Y1+ Y2+…+Yn
Z = Z1+ Z2+…+Zn
Где X1, X2 … Xn; Y1, Y2 … Yn; Z1, Z2 … Zn – Проекции сил P1, P2, … Pn на оси x, y, z.
Тогда модуль и направление главного вектора определяются как:
R* 
cos(R̅*, i̅) = X/R*
cos(R̅*, j̅) = Y/R*
cos(R̅*, k̅) = Z/R*
Главный момент.
Известно, что M̅O = M̅1O+ M̅2O+…+ M̅nO
Обозначим Mx, My, Mz проекции главного момента на оси координат и получим:
Проекции главного момента на оси – главные моменты относительно этих осей
Mx = M1x+ M2x+…+ Mnx
My = M1y+ M2y+…+ Mny
Mz = M1z+ M2z+…+ Mnz
Тогда модуль и направление главного модуля определяются как:
M̅O 
cos(M̅O, i̅) = X/M̅O
cos(M̅O, j̅) = Y/M̅O
cos(M̅O, k̅) = Z/M̅O
8. Приведение силы к точке. Теорема Пуансо об эквивалентности произвольной системы сил силе и паре.
8.1 Приведение силы к точке
Силу P, не изменяя ее действия на твердое тело, можно перенести из точки ее приложения А в любой центр приведения О, приложив при этом к телу пару сил с моментом M, геометрически равным моменту МО этой силы относительно центра приведения.
| P̅ |
| А |
| O |
| d |
| MO |
| r̅ |
| P̅ |
| А |
| O |
| d |
| MO= M |
| r̅ |
| P̅`` |
| P̅` |
| А |
| O |
| P̅` |
| M |
8.2 Теорема Пуансо об эквивалентности произвольной системы сил силе и паре.
Силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения, и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.
9. Влияние изменения центра приведения на главный момент.
Выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора R̅*, но влияет на модуль и направление главного момента MO
10.Частные случаи приведения произвольной системы сил.
Случай I: R̅* = 0; M = MO = 0
Если главный вектор системы сил равен нулю и ее главный момент относительно центра приведения тоже равен нулю, то силы взаимно уравновешиваются.
Случай II: R̅* = 0; M = MO ≠ 0
Если главный вектор системы сил равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения не равен нулю, то силы приводятся к паре сил.
Случай III: R̅* ≠ 0; M = MO = 0
Если главный вектор системы сил не равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения равен нулю, то силы приводят к равнодействующей R = R̅*, линия действия которой проходит через центр приведения.
Случай IV: R̅* ≠ 0; M = MO ≠ 0
Если главный вектор системы сил не равен нулю и главный момент относительно центра приведения не равен нулю, то заданная система сил приводится к одной силе – равнодействующей данной системы сил.
Если силы не уравновешиваются, то их можно привести к одной силе или к паре сил.
11.Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.
Момент равнодействующей силы относительно любой точки на плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.
12.Уравнения равновесия механической системы под действием произвольной системы сил.
M = 0
R̅* = 0
13.Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, системы параллельных сил.
13.1 Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил.
M = 0
R̅* = 0
13.2 Уравнение равновесия для системы параллельных сил.
M = 0
R̅* = 0
14.Центр параллельных сил. Сложение параллельных сил.
14.1 Центр параллельных сил
Центр параллельных сил – точка через которую проходит R̅* системы параллельных сил, если, не изменяя модулей сил, поворачивать линии действия сил вокруг точек их приложения на один и тот же угол и ту же сторону.
14.2 Сложение параллельных сил
Главный вектор системы параллельных сил параллелен силам, его модуль равен абсолютному значению алгебраической суммы проекций сил на ось, параллельную силам, а его направление определяется знаком этой суммы.
Момент пары сил, эквивалентной системы пар, появившихся в результате приведения, равен главному моменту параллельных сил относительно центра приведения.
15.Центр тяжести тела. Координаты центра тяжести.
15.1 Центр тяжести тела Равнодействующая сил притяжения – вес тела, а центр этой системы в котором приложен вес – центр тяжести тела.
15.2 Координаты центра тяжести
Пусть xi, yi, zi – координаты любой частицы твердого тела,
xс, yс, zс – координаты центра тяжести
G1, G2 … Gn – силы тяжести отдельных элементарных частиц тела к земле
G – вес тела.
Тогда координаты центра тяжести будут определяться как:
xс = 
yс = 
zс = 
xс = 
yс = 
zс = 
Где 
– объем элементарной частицы тела, V – объем самого тела
16.Способы определения координат центров тяжести однородных тел.
16.1 Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.
| O |
| O – Центр симметрии, а так же центр тяжести данного тела |
16.2 Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам
xc = 
yc = 
| С1 |
| С2 |
| С3 |
16.3 Дополнение. Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.
| - вырез |
16.4 Интегрирование. Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положение центров тяжести которых известны, то тело разбивают сначала на произвольные малые объемы, для которых справедлива формула
xc = 
yc = 
zc = 
17.Законы трения скольжения. Угол и конус трения.
17.1 I закон: При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему приложена сила трения скольжения. Направление этой силы, противодействующей скольжению, противоположно направлена скорости тела.
II закон: Модуль силы трения скольжения пропорционален нормальному давлению
F = μN
μ – Коэффициент трения скольжения
17.2
Угол трения – угол, тангенс которого равен коэффициенту трения скольжения
Конус трения – Конус, ось которого является нормалью к поверхности, а образующая отклонена от нормали на угол, равный углу трения, называется конусом трения
| φтр |
| tg(φтр) = μ |
18.Трение качения.
Трение качение – сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.
Мтр = N*δ
| P̅ |
| N̅ |
| Q̅ |
| Q̅ |
| Mтр |
Раздел 2. Кинематика.
1. Векторный и координатный способы задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки при векторном и координатном способах задания движения.
1.1 Векторный способ задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения.
Задание движения точки:
Положение точки в пространстве однозначно определяется заданием радиус-вектора r̅, проведенного из некоторого неподвижного центра O в данную точку M.
Для определения движения точки нужно знать, как изменится с течением времени радиус-вектор r̅, т.е. должна быть задана векторная функция r̅ аргумента t
r̅ = r̅(t)
| M3 |
| M4 |
| M2 |
| M1 |
| r̅4 |
| r̅3 |
| r̅2 |
| r̅1 |
| O |
| Траектория точки является геометрическим местом концов радиус-вектора r̅ движущейся точки |
Скорость точки:
Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.
Вектор скорости точки в данный момент равен производной от радиус-вектора точки по времени
Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
Ускорение:
Ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля и направления скорости.
Вектор ускорения точки равен первой производной от скорости по времени или второй производной от радиус-вектора точки по времени.
Вектор ускорения точки расположен в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.
1.2 Координатный способ задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения.
Задание движения точки:
Положение точки M в системе отсчета Oxyz определяется тремя декартовыми координатами точки x, y, z. При движении точки M ее координаты изменяются с течением времени. Следовательно, координаты x, y, z движущейся точки M являются функциями времени t:
x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t)
Скорость точки:
Проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.
Ux= dx/dt; Uy= dy/dt; Uz= dz/dt
U = 
Ускорение:
Проекции ускорения на неподвижные оси декартовых координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени или первым производным по времени от проекций скорости точки на соответствующие оси
ax= d2x/dt2; ay= d2y/dt2; az= d2z/dt2
a = 
2. Естественный способ задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения.
2.1 Естественный способ задания движения точки
Условие: траектория движения заранее известна.
При движении точки М расстояние S от этой точки до неподвижной точки O [О – начало отсчета] изменяется с течением времени, т.е. дуговая координата s является функцией времени
s = f(t) – уравнение движения точки.
| O |
| + |
| - |
| M0 |
| M |
В случае задания движения точки естественным способом нам должно быть известно: Траектория движения, начало и направление отсчета дуговой координаты и уравнение движения точки s=f(t)
2.2 Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения
Модуль скорости равен абсолютному значению производной от дуговой координаты точки по времени.
U = ds/dt
Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением, а другой направлен по касательной и называется касательным ускорением точки.
a̅ = a̅n+a̅t
a̅n = U2/p p – радиус кривизны
a̅t = dU/dt
3. Поступательное движение твёрдого тела. Траектории, скорости и ускорения точек тела при поступательном движении.
3.1 Поступательное движение твёрдого тела.
Поступательное движение твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается во все время движения тела параллельной своему начальному положению.
3.2 Траектории, скорости и ускорения точек тела при поступательном движении.
Теорема: Все точки твердого тела движущегося поступательно, описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.
4. Вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Закон движения, угловая скорость и угловое ускорение тела. Векторы угловой скорости и углового ускорения твёрдого тела.
4.1 Вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остается неподвижной
Эта прямая называется осью вращения.
При этом движение все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.
4.2 Закон движения, угловая скорость и угловое ускорение тела.
Закон движения:
При вращении тела угол поворота φ изменяется в зависимости от времени, т.е. является функцией времени t
φ = f(t) – уравнение вращательного движения тела.
Угловая скорость
Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью тела.
ω = dφ/dt
Угловое ускорение тела
Числовая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течение времени, называется угловым ускорением
ε = dω/dt = d2φ/dt2
4.3 Векторы угловой скорости и углового ускорения твёрдого тела.
Вектор угловой скорости откладывается от любой точки оси вращения , направляя его по этой оси так, чтобы, смотря на встречу этому вектору, видеть вращение тела против часовой стрелки
Направление вектора углового ускорения совпадает с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположно ему при замедленном.
| ω |
| ε |
| O1 |
| O |
5. Распределение скоростей и ускорений точек тела при вращательном движении.
Скорости
Модули вращательных скоростей различных точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения.
| U̅A |
| U̅B |
| U̅C |
| U̅D |
| D |
| C |
| B |
| A |
| O |
Ускорения
Модули вращательных, центростремительных и полных ускорений точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения.
| O |
| А |
| B |
| a̅nB |
| a̅τB |
| a̅B |
| a̅τA |
| a̅A |
| a̅nA |
6. Плоское движение твёрдого тела. Закон движения. Распределение скоростей точек тела при плоском движении. Формула сложения скоростей. Теорема о проекциях скоростей.
6.1 Плоское движение твёрдого тела
Плоским или плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости параллельной некоторой неподвижной плоскости.
6.2 Закон движения
Всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как совокупность двух перемещений: поступательного перемещения плоской фигуры вместе с произвольной точкой, называемой полюсом, и поворота вокруг полюса.
Таким образом, движение тела при плоскопараллельном движении описывается тремя уравнениями:
X0 = f1(t); Y0 = f2(t); φ = f3(t)
При этом поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а числовая величина угла поворота и направление поворота от выбора полюса не зависит.
6.3 Распределение скоростей точек тела при плоском движении
Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей полюса и скорости этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса.
| O |
| А |
| r̅OA |
| U̅OA |
| U̅O |
| U̅O |
| U̅A |
| ω |
6.4 Формула сложения скоростей
U̅A = U̅O + U̅OA ó U̅A = U̅O + r̅OA*ω
6.5 Теорема о проекциях скоростей
Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, алгебраически равны
| АЫ |
| BЫ |
| DЫ |
| xzсЫ |
| UА |
| UB |
| UD |
| UDx |
| UBx |
| UAx |
7. Аналитический и геометрический способы нахождения скоростей точек тела при плоском движении. План скоростей и его свойства.
7.1 Аналитический способ нахождения скоростей точек тела при плоском движении.
При использовании аналитического метода считаются известными уравнения движения плоской фигуры (тела, совершающего плоскопараллельное движение)
XA = XA(t); YA = YA(t); φ = φ(t)
Где А – полюс.
Тогда координаты точки M будут равны
XM = XA + b*cos(φ); YA = YA + b*sin(φ)
| AЫ |
| MЫ |
| φ |
| b |
Тогда UM = 
7.2 Геометрический способ нахождения скоростей точек тела при плоском движении
Векторное уравнение для скоростей точек плоской фигуры получается из теоремы: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки при вращении фигуры вокруг полюса.
U̅M = U̅A + U̅MA
Где U̅A – скорость полюса А. U̅MA –скорость точки при вращении фигуры вокруг полюса.
U̅MA = ω*MA
ω – Угловая скорость плоской фигуры
| MЫ |
| А |
| U̅A |
| U̅MA |
| U̅MA |
| U̅A |
| U̅M |
7.3 План скоростей и его свойства.
Способ позволяющий определить скорости точек плоской фигуры, основанный на зависимости между скоростями точек плоской фигуры – план скоростей.
Свойства плана скоростей
Каждый из отрезков, соединяющих вершины плана скоростей, геометрически равен вращательной скорости соответствующей точки вокруг другой точки как вокруг полюса
8. Мгновенный центр скоростей и его свойства. Способы нахождения положения мгновенного центра скоростей.
Мгновенный центр скоростей.
Мгновенный центр скоростей - точка неизменно связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент времени равен нулю.
Следствие 1
Если главный вектор внешних сил за рассматриваемый промежуток времени равен нулю, то количество механической системы постоянно.
Следствие 2
Если проекция главного вектора внешних сил на какую либо ось за рассматриваемый промежуток времени равна нулю, то проекция центра масс механической системы на эту ось или неподвижна, или движется равномерно.
6. Кинетический момент механической системы относительно точки и оси. Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижной точки. Следствия из теоремы. Элементарная и полная работа силы. Мощность силы. Мощность пары сил.
6.1 Кинетический момент механической системы относительно точки и оси.
Относительно точки: Кинетическим моментом (или главным моментом количеств движения механической системы относительно данного центра) называется вектор, равный геометрической сумме моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно этого центра.
LO = 
Относительно центра: Кинетическим моментом (или главным моментом количеств движения механической системы относительно оси) называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно этой оси.
Lz = LO*cos(LO, k).
6.2 Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижной точки
Теорема: производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра.
6.3 Следствия из теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижной точки.
Следствия:
1.Если главный момент внешних сил относительно некоторого неподвижного центра остается все время равным нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается постоянным.
2. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси остается все время равным нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси остается постоянным.
6.4 Элементарная и полная работа силы
Работа – количественная мера превращения механического движения в какую-либо другую форму движения.
Элементарная работа – работа на бесконечно малом промежутке пути (на элементарном промежутке пути).
δA = P*dσ*cos(P,u)
P – Модуль силы
dσ – Длина пути
cos(P,u) – косинус угла, составленного направлением силы и скорости u
Полная работа – работа на всем промежутке пути.
Полная работа равна сумме элементарных работ.
A = 
6.5 Мощность силы.
Мощность - работа силы, совершаемая в единицу времени.
P = A/t [Вт]
Мощность силы равна скалярному произведению векторов силы и скорости ее точки приложения
6.6 Мощность пары сил.
P = M*ω*cos(M, ω)
7. Работа силы тяжести, работа силы упругости, работа силы приложенной к вращающемуся твёрдому телу, работа пары сил.
Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению силы тяжести на вертикальное перемещение точки.
Работа силы упругости равна взятому со знаком плюс или минус произведению наибольшему значению силы упругости на половину перемещения.
Работа силы приложенной к вращающемуся твёрдому телу равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на угловую скорость
N = M*ω
Работа пары сил равна произведению момента пары сил на угол поворота.
8. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Теорема Кенига. Кинетическая энергия твёрдого тела при различных видах его движения.
8.1 Кинетическая энергия материальной точки и механической системы.
Кинетическая энергия материальной точки массой m, движущейся со скоростью u, равна половине произведения массы этой точки на квадрат скорости ее движения:
T = mu2/2
Кинетическая энергия механической системы определяется как сумма значений кинетической энергии всех входящих в эту систему материальных точек:
8.2 Теорема Кенига.
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии центра масс системы, масса которого равна массе всей системы, и кинетической энергии этой системы в ее относительном движении относительно центра масс
8.3 Кинетическая энергия твёрдого тела при различных видах его движения.
Общее уравнение динамики
Раздел 1. Статика
1. Аксиомы статики. Следствие о переносе силы вдоль её линии действия.
1.1 АКСИОМА ИНЕРЦИИ. Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.
1.2 АКСИОМА РАВНОВЕСИЯ ДВУХ СИЛ. Две силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются только в том случае, если их модули равны и если они направлены по одной прямой в противоположные стороны.
1.3 АКСИОМА ПРИСОЕДИНЕНИЯ И ИСКЛЮЧЕНИЯ УРАВНОВЕШИВАЮЩИХСЯ СИЛ. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к нему присоединить или из нее исключить систему взаимно уравновешивающихся сил.
1.4 АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА СИЛ. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.
1.5 АКСИОМА РАВЕНСТВА ДЕЙСТВИЯ И ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
1.6 АКСИОМА СОХРАНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К ДЕФОРМИРУЮЩЕМУСЯ ТЕЛУ ПРИ ЕГО ЗАТВЕРДЕВАНИИ. Равновесие сил, приложенных к деформирующемуся телу, сохраняется при его затвердевании
СЛЕДСТВИЕ. Не изменяя кинематического состояния абсолютного твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменными ее модуль и направление
| 1) Дано тело, к которому приложена сила P̅ |
| P̅ |
| 2) По аксиоме о присоединении и исключении уравн. Сил добавим уравновешенную систему сил Q̅ и Q̅`. Причем Q̅ = P̅ по направлению и модулю. |
| P̅ |
| Q̅` |
| Q̅ |
| 2) Т.к. силы Q̅` и P̅ образуют уравновешивающую систему сил, то по аксиоме о присоединении и исключении уравн. Сил мы можем их исключить. |
| Q̅ |
| В итоге получим силу Q̅ равную по модулю и совпадающую по направлению с силой P̅, но приложенной к другой точке на линии действия силы P̅. Что и требовалось доказать. |
2. Условия равновесия системы сходящихся сил. Теорема об эквивалентности системы сходящихся сил одной силе. Аналитический способ определения равнодействующей.
Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке
| A̅ |
| B̅ |
| Силы A̅ и B̅ – сходящиеся. |
Если к телу приложено больше 2-х сходящихся сил, то их равнодействующая будет равна их геометрической сумме
| A̅` |
| B̅ |
| Силы А̅, B̅ и C̅ – сходящиеся. Если отложить их друг от друга, а затем соединить начало первого и конец последнего, то мы получим равнодействующую силу Q̅ |
| С̅ |
| B̅` |
| C̅` |
| A̅ |
| Q̅ |
| Для сил в одной плоскости |
| Для сил в пространстве (правило параллелепипеда) |
| C̅ |
| B̅ |
| A̅ |
| Q̅ |
| z |
| x |
| y |
2.1 Условия равновесия системы сходящихся сил.
Сходящиеся силы уравновешиваются в случае, если их равнодействующая равна нулю.
2.2 Теорема об эквивалентности системы сходящихся сил одной силе.
Систему сходящихся сил можно заменить на эквивалентную силу по правилу параллелограмма или треугольника
| Q̅ |
| A̅ |
| B̅ |
| A̅` |
| B̅` |
| Сила Q̅ – равнодействующая сил A̅ и B̅ Систему сил A̅ и B̅ можно эквивалентно заменить одной силой Q̅ |
| Q̅ |
| A̅ |
| B̅ |
| A̅` |
| B̅` |
| Правило параллелограмма |
| Правило треугольника |
2.3 Аналитический способ определения равнодействующей.
Пусть дано несколько сходящихся сил P̅1, P̅2, …, P̅n. Их равнодействующая равна их геометрической сумме.
P̅ = P̅1+P̅2+…+P̅n
Проекция равнодействующей на каждую из координатных осей равна алгебраической сумме проекций всех составляющих:
| X = X1+X2+…+Xn | Y = Y1+Y2+…+Yn | Z = Z1+Z2+…+Zn |
Где X, Y, Z – проекции P̅ на оси координат
Определив проекции вектора R на координатные оси, можем найти модуль и направление равнодействующей по формуле
R =
3. Момент силы относительно точки.
3.1 Момент силы P̅ относительно точки O изображается вектором M0 приложенным в этой точке и направленный перпендикулярно плоскости, содержащей силу и точку, в такую сторону, чтобы смотря навстречу этому вектору, видеть силу P̅ стремящейся вращать эту плоскость в сторону, обратную вращению часовой стрелке
| P̅ |
| O |
| Наблюдатель |
| M0 |
| A |
3.2 Модуль вектора M0 равен произведению модуля силы P на ее плече d относительно точки O.
Плечо d является кратчайшим расстоянием от этой точки до линии действия силы.
3.3 Также, вектор момента сил можно рассматривать, как векторное произведение радиус вектора r̅, проведенного из точки O в точку приложения силы P̅ [A], и вектора силы P̅.
M0 = P̅ x r̅
3.4 При переносе силы вдоль линии её действия, момент относительно точки не изменяется
4. Момент силы относительно оси. Зависимость между моментами силы относительно оси и точки на этой оси.
4.1 Момент силы относительно оси.
Чтобы вычислить момент силы относительно оси z, следует спроецировать силу P̅ на плоскость α, перпендикулярную оси z, а затем вычислить момент ее проекции P̅1 на эту плоскость относительно точки O [пересечения оси z и плоскости α]
| z |
| P̅ |
| P̅1 |
| O |
| d1 |
| Mz |
| α |
| Наблюдатель |
Таким образом, моментом силы P̅ относительно оси z называется взятое со знаком «плюс» или «минус» произведение проекции P̅1 силы P̅ на плоскость перпендикулярную оси, на ее плече d1 относительно точки O пересечения оси с плоскостью:
Mz = ±P̅1*d1
Если, смотря навстречу оси z, видеть, что проекция P̅1 вращает плоскость α против часовой стрелки, то знак «+». Иначе «-»
Момент силы относительно оси равен 0, если:
1) P1 = 0, сила P̅ || оси z
2) d1 = 0, ось z проходит через силу P̅
3) Если сила P̅ и ось z лежат в одной плоскости [следствие из 1 и 2]
4.2 Зависимость между моментами силы относительно оси и точки на этой оси.
Установим зависимость между моментом силы относительно точки O и моментом силы относительно оси z
| z |
| P̅ |
| P̅1 |
| O |
| d1 |
| Mz |
| α |
| d |
| B |
| A |
| A1 |
| B1 |
| MO |
| γ |
Получим, что Mz = P̅1*d1 и MO = P̅ * d
Т.к. P̅1*d1 – соответствует удвоенной площади треугольника A1OB1, а
P̅ * d – удвоенной площади треугольника AOB.
Получим Mz = 2*S(▲A1OB1), MO = 2*S(▲AOB)
Т.к. ▲A1OB1 является проекцией ▲AOB на плоскость α, то площади ▲A1OB1 равна площади ▲AOB умноженной на косинус угла между плоскостями [cos(γ)].
Также угол между плоскостями [γ] равен углу между Mz и MO
[MO ┴ (AOB); Mz ┴ (A1OB1)]
Из всего выше сказанного получим:
S(▲A1OB1) = S(▲AOB) * cos(γ)
2*S(▲A1OB1) = 2*S(▲AOB) * cos(γ)
Mz = MO *cos (γ).
5. Пара сил. Момент пары сил. Теорема о сумме моментов сил пары..
5.1 Пара сил
Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил P̅ и P̅` называется парой сил.
| А |
| B |
| P̅` |
| P̅ |
5.2 Момент пары сил
Кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару, называют плечом пары сил.
Момент пары сил определяется произведением модуля одной из силы пары на ее плечо:
M = P*d [Н*м]
Вектор момента M пары P̅, P̅`направляют перпендикулярно плоскости действия пары сил в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть пару сил стремящейся вращать плоскость ее действия в сторону, обратную вращению часовой стрелки
| А |
| B |
| P̅` |
| P̅ |
| М |
| Наблюдатель |
5.3 Теорема о сумме моментов сил пары
Геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной им пары
Момент пары сил, эквивалентной данной системе пар сил в пространстве, равен геометрической сумме моментов составляющих пар сил:
M̅ = M̅1+M̅2+…+M̅n
Момент пары сил, эквивалентной системе пар сил на плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих пар
M = M1+M2+…+Mn
| P̅`3 |
| P̅3 |
| М3 |
| P̅`1 |
| P̅1 |
| М1 |
| P̅`2 |
| P̅2 |
| М2 |
6. Пара сил. Свойства пар. Сложение пар.
6.1 Пара сил.
[См 5.1]
6.2 Свойства пар
Плоскость, в которой находятся линии действия P̅ и P̅`, называется плоскостью действия пары сил
Пара сил не имеет равнодействующей, однако силы пары не уравновешиваются, так как они не направлены по одной прямой. Пара сил стремится произвести вращение твердого тела, к которому она приложена.
Пара сил, не имея равнодействующей, не может быть уравновешена силой.
6.3 Сложение пар
Сложение пары сил заключается в том, чтобы найти эквивалентную данным пару сил.
На плоскости:
Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их моменты численно равны и одинаковы по знаку.
В пространстве:
Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.
Следовательно, чтобы сложить пары сил нам необходимо найти геометрическую или алгебраическую сумму моментов данных пар.
| P̅1 |
| P̅`1 |
| M1 |
| P̅2 |
| P̅`2 |
| P̅`4 |
| P̅`4 |
| P̅3 |
| P̅`3 |
| M2 |
| M2 |
| M3 |
| M1 |
| M4 |
| M3 |
| M̅4 = M̅1+M̅2+M̅3 |
| P̅4 и P̅`4 – эквивалентная пара полученная сложением пар сил P̅1 и P̅`1, P̅2 и P̅`2, P̅3 и P̅`3 |
7. Главный вектор и главный момент произвольной системы сил. Аналитическое определение главного вектора и главного момента.
7.1 Главный вектор и главный момент произвольной системы сил
Геометрическая сумма всех сил системы называется главным вектором системы сил и в отличие от равнодействующей R̅ обозначается R̅*
Момент MO, равный геометрической сумме моментов всех сил системы относительно точки O, называется главным моментом системы сил относительно этой точки.
7.2 Аналитическое определение главного вектора и главного момента.
Главный вектор:
Известно, что R̅* = P1+P2+…+Pn
Обозначим X, Y, Z проекции главного вектора на оси координат и получим:
X = X1+ X2+…+Xn
Y = Y1+ Y2+…+Yn
Z = Z1+ Z2+…+Zn
Где X1, X2 … Xn; Y1, Y2 … Yn; Z1, Z2 … Zn – Проекции сил P1, P2, … Pn на оси x, y, z.
Тогда модуль и направление главного вектора определяются как:
R*
cos(R̅*, i̅) = X/R*
cos(R̅*, j̅) = Y/R*
cos(R̅*, k̅) = Z/R*
Главный момент.
Известно, что M̅O = M̅1O+ M̅2O+…+ M̅nO
Обозначим Mx, My, Mz проекции главного момента на оси координат и получим:
Проекции главного момента на оси – главные моменты относительно этих осей
Mx = M1x+ M2x+…+ Mnx
My = M1y+ M2y+…+ Mny
Mz = M1z+ M2z+…+ Mnz
Тогда модуль и направление главного модуля определяются как:
M̅O
cos(M̅O, i̅) = X/M̅O
cos(M̅O, j̅) = Y/M̅O
cos(M̅O, k̅) = Z/M̅O
8. Приведение силы к точке. Теорема Пуансо об эквивалентности произвольной системы сил силе и паре.
8.1 Приведение силы к точке
Силу P, не изменяя ее действия на твердое тело, можно перенести из точки ее приложения А в любой центр приведения О, приложив при этом к телу пару сил с моментом M, геометрически равным моменту МО этой силы относительно центра приведения.
| P̅ |
| А |
| O |
| d |
| MO |
| r̅ |
| P̅ |
| А |
| O |
| d |
| MO= M |
| r̅ |
| P̅`` |
| P̅` |
| А |
| O |
| P̅` |
| M |
8.2 Теорема Пуансо об эквивалентности произвольной системы сил силе и паре.
Силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения, и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.
9. Влияние изменения центра приведения на главный момент.
Выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора R̅*, но влияет на модуль и направление главного момента MO
10.Частные случаи приведения произвольной системы сил.
Случай I: R̅* = 0; M = MO = 0
Если главный вектор системы сил равен нулю и ее главный момент относительно центра приведения тоже равен нулю, то силы взаимно уравновешиваются.
Случай II: R̅* = 0; M = MO ≠ 0
Если главный вектор системы сил равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения не равен нулю, то силы приводятся к паре сил.
Случай III: R̅* ≠ 0; M = MO = 0
Если главный вектор системы сил не равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения равен нулю, то силы приводят к равнодействующей R = R̅*, линия действия которой проходит через центр приведения.
Случай IV: R̅* ≠ 0; M = MO ≠ 0
Если главный вектор системы сил не равен нулю и главный момент относительно центра приведения не равен нулю, то заданная система сил приводится к одной силе – равнодействующей данной системы сил.
Если силы не уравновешиваются, то их можно привести к одной силе или к паре сил.
11.Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.
Момент равнодействующей силы относительно любой точки на плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.
12.Уравнения равновесия механической системы под действием произвольной системы сил.
M = 0
R̅* = 0
13.Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, системы параллельных сил.
13.1 Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил.
M = 0
R̅* = 0
13.2 Уравнение равновесия для системы параллельных сил.
M = 0
R̅* = 0
14.Центр параллельных сил. Сложение параллельных сил.
14.1 Центр параллельных сил
Центр параллельных сил – точка через которую проходит R̅* системы параллельных сил, если, не изменяя модулей сил, поворачивать линии действия сил вокруг точек их приложения на один и тот же угол и ту же сторону.
14.2 Сложение параллельных сил
Главный вектор системы параллельных сил параллелен силам, его модуль равен абсолютному значению алгебраической суммы проекций сил на ось, параллельную силам, а его направление определяется знаком этой суммы.
Момент пары сил, эквивалентной системы пар, появившихся в результате приведения, равен главному моменту параллельных сил относительно центра приведения.
15.Центр тяжести тела. Координаты центра тяжести.
15.1 Центр тяжести тела Равнодействующая сил притяжения – вес тела, а центр этой системы в котором приложен вес – центр тяжести тела.
15.2 Координаты центра тяжести
Пусть xi, yi, zi – координаты любой частицы твердого тела,
xс, yс, zс – координаты центра тяжести
G1, G2 … Gn – силы тяжести отдельных элементарных частиц тела к земле
G – вес тела.
Тогда координаты центра тяжести будут определяться как:
xс =
yс =
zс =
xс =
yс =
zс =
Где – объем элементарной частицы тела, V – объем самого тела
16.Способы определения координат центров тяжести однородных тел.
16.1 Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.
| O |
| O – Центр симметрии, а так же центр тяжести данного тела |
16.2 Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам
xc =
yc =
| С1 |
| С2 |
| С3 |
16.3 Дополнение. Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.
| - вырез |
16.4 Интегрирование. Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положение центров тяжести которых известны, то тело разбивают сначала на произвольные малые объемы, для которых справедлива формула
xc =
yc =
zc =
17.Законы трения скольжения. Угол и конус трения.
17.1 I закон: При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему приложена сила трения скольжения. Направление этой силы, противодействующей скольжению, противоположно направлена скорости тела.
II закон: Модуль силы трения скольжения пропорционален нормальному давлению
F = μN
μ – Коэффициент трения скольжения
17.2
Угол трения – угол, тангенс которого равен коэффициенту трения скольжения
Конус трения – Конус, ось которого является нормалью к поверхности, а образующая отклонена от нормали на угол, равный углу трения, называется конусом трения
| φтр |
| tg(φтр) = μ |
18.Трение качения.
Трение качение – сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.
Мтр = N*δ
| P̅ |
| N̅ |
| Q̅ |
| Q̅ |
| Mтр |
Раздел 2. Кинематика.
1. Векторный и координатный способы задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки при векторном и координатном способах задания движения.
1.1 Векторный способ задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения.
Задание движения точки:
Положение точки в пространстве однозначно определяется заданием радиус-вектора r̅, проведенного из некоторого неподвижного центра O в данную точку M.
Для определения движения точки нужно знать, как изменится с течением времени радиус-вектор r̅, т.е. должна быть задана векторная функция r̅ аргумента t
r̅ = r̅(t)
| M3 |
| M4 |
| M2 |
| M1 |
| r̅4 |
| r̅3 |
| r̅2 |
| r̅1 |
| O |
| Траектория точки является геометрическим местом концов радиус-вектора r̅ движущейся точки |
Скорость точки:
Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.
Вектор скорости точки в данный момент равен производной от радиус-вектора точки по времени
Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
Ускорение:
Ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля и направления скорости.
Вектор ускорения точки равен первой производной от скорости по времени или второй производной от радиус-вектора точки по времени.
Вектор ускорения точки расположен в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.
1.2 Координатный способ задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения.
Задание движения точки:
Положение точки M в системе отсчета Oxyz определяется тремя декартовыми координатами точки x, y, z. При движении точки M ее координаты изменяются с течением времени. Следовательно, координаты x, y, z движущейся точки M являются функциями времени t:
x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t)
Скорость точки:
Проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.
Ux= dx/dt; Uy= dy/dt; Uz= dz/dt
U =
Ускорение:
Проекции ускорения на неподвижные оси декартовых координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени или первым производным по времени от проекций скорости точки на соответствующие оси
ax= d2x/dt2; ay= d2y/dt2; az= d2z/dt2
a =
2. Естественный способ задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения.
2.1 Естественный способ задания движения точки
Условие: траектория движения заранее известна.
При движении точки М расстояние S от этой точки до неподвижной точки O [О – начало отсчета] изменяется с течением времени, т.е. дуговая координата s является функцией времени
s = f(t) – уравнение движения точки.
| O |
| + |
| - |
| M0 |
| M |
В случае задания движения точки естественным способом нам должно быть известно: Траектория движения, начало и направление отсчета дуговой координаты и уравнение движения точки s=f(t)
2.2 Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения
Модуль скорости равен абсолютному значению производной от дуговой координаты точки по времени.
U = ds/dt
Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением, а другой направлен по касательной и называется касательным ускорением точки.
a̅ = a̅n+a̅t
a̅n = U2/p p – радиус кривизны
a̅t = dU/dt
3. Поступательное движение твёрдого тела. Траектории, скорости и ускорения точек тела при поступательном движении.
3.1 Поступательное движение твёрдого тела.
Поступательное движение твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается во все время движения тела параллельной своему начальному положению.
3.2 Траектории, скорости и ускорения точек тела при поступательном движении.
Теорема: Все точки твердого тела движущегося поступательно, описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.
4. Вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Закон движения, угловая скорость и угловое ускорение тела. Векторы угловой скорости и углового ускорения твёрдого тела.
4.1 Вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остается неподвижной
Эта прямая называется осью вращения.
При этом движение все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.
4.2 Закон движения, угловая скорость и угловое ускорение тела.
Закон движения:
При вращении тела угол поворота φ изменяется в зависимости от времени, т.е. является функцией времени t
φ = f(t) – уравнение вращательного движения тела.
Угловая скорость
Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью тела.
ω = dφ/dt
Угловое ускорение тела
Числовая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течение времени, называется угловым ускорением
ε = dω/dt = d2φ/dt2
4.3 Векторы угловой скорости и углового ускорения твёрдого тела.
Вектор угловой скорости откладывается от любой точки оси вращения , направляя его по этой оси так, чтобы, смотря на встречу этому вектору, видеть вращение тела против часовой стрелки
Направление вектора углового ускорения совпадает с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположно ему при замедленном.
| ω |
| ε |
| O1 |
| O |
5. Распределение скоростей и ускорений точек тела при вращательном движении.
Скорости
Модули вращательных скоростей различных точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения.
| U̅A |
| U̅B |
| U̅C |
| U̅D |
| D |
| C |
| B |
| A |
| O |
Ускорения
Модули вращательных, центростремительных и полных ускорений точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения.
| O |
| А |
| B |
| a̅nB |
| a̅τB |
| a̅B |
| a̅τA |
| a̅A |
| a̅nA |
6. Плоское движение твёрдого тела. Закон движения. Распределение скоростей точек тела при плоском движении. Формула сложения скоростей. Теорема о проекциях скоростей.
6.1 Плоское движение твёрдого тела
Плоским или плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости параллельной некоторой неподвижной плоскости.
6.2 Закон движения
Всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как совокупность двух перемещений: поступательного перемещения плоской фигуры вместе с произвольной точкой, называемой полюсом, и поворота вокруг полюса.
Таким образом, движение тела при плоскопараллельном движении описывается тремя уравнениями:
X0 = f1(t); Y0 = f2(t); φ = f3(t)
При этом поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а числовая величина угла поворота и направление поворота от выбора полюса не зависит.
6.3 Распределение скоростей точек тела при плоском движении
Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей полюса и скорости этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса.
| O |
| А |
| r̅OA |
| U̅OA |
| U̅O |
| U̅O |
| U̅A |
| ω |
6.4 Формула сложения скоростей
U̅A = U̅O + U̅OA ó U̅A = U̅O + r̅OA*ω
6.5 Теорема о проекциях скоростей
Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, алгебраически равны
| АЫ |
| BЫ |
| DЫ |
| xzсЫ |
| UА |
| UB |
| UD |
| UDx |
| UBx |
| UAx |
7. Аналитический и геометрический способы нахождения скоростей точек тела при плоском движении. План скоростей и его свойства.
7.1 Аналитический способ нахождения скоростей точек тела при плоском движении.
При использовании аналитического метода считаются известными уравнения движения плоской фигуры (тела, совершающего плоскопараллельное движение)
XA = XA(t); YA = YA(t); φ = φ(t)
Где А – полюс.
Тогда координаты точки M будут равны
XM = XA + b*cos(φ); YA = YA + b*sin(φ)
| AЫ |
| MЫ |
| φ |
| b |
Тогда UM =
7.2 Геометрический способ нахождения скоростей точек тела при плоском движении
Векторное уравнение для скоростей точек плоской фигуры получается из теоремы: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки при вращении фигуры вокруг полюса.
U̅M = U̅A + U̅MA
Где U̅A – скорость полюса А. U̅MA –скорость точки при вращении фигуры вокруг полюса.
U̅MA = ω*MA
ω – Угловая скорость плоской фигуры
| MЫ |
| А |
| U̅A |
| U̅MA |
| U̅MA |
| U̅A |
| U̅M |
7.3 План скоростей и его свойства.
Способ позволяющий определить скорости точек плоской фигуры, основанный на зависимости между скоростями точек плоской фигуры – план скоростей.
Свойства плана скоростей
Каждый из отрезков, соединяющих вершины плана скоростей, геометрически равен вращательной скорости соответствующей точки вокруг другой точки как вокруг полюса
8. Мгновенный центр скоростей и его свойства. Способы нахождения положения мгновенного центра скоростей.
Мгновенный центр скоростей.
Мгновенный центр скоростей - точка неизменно связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент времени равен нулю.
Свойства мгновенного центра скоростей.
1. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры находится на перпендикуляре к направлению скорости полюса на расстоянии от полюса, равном V0/ω
2. Скорость любой точки плоской фигуры в каждый момент времени имеет модуль, равный произведению угловой скорости фигуры на длину отрезка, соединяющего эту точку с мгновенным центром скоростей, и направлена перпендикулярно этому отрезку в сторону вращения фигуры.
3. Модули скоростей точек плоской фигуры в каждый момент времени пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей.
Дата: 2019-07-25, просмотров: 233.
