Этот алгоритм обсчитан на компьютерах в кандидатской диссертации.

Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий U до квадратной невырожденной:

Начальные значения Y (0), Y (0), Y (0), Y (0), Y*(0) находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:

∙ Y*(0) = ,

∙ Y (0) = , где i = , , , ,

где 0 – вектор из нулей размерности 4х1.

Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К.Годунова

Эта замена формул Рунге-Кутта на формулу теории матриц обсчитана на компьютерах в кандидатской диссертации.

В методе С.К.Годунова как показано выше решение ищется в виде:

Y(x) = Y (x) ∙ c + Y*(x).

На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутта пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:

Y (x ) = K(x - x ) ∙Y (x ).

Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор Y*(x) частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутта, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутта.

Метод половины констант

Этот метод пока не обсчитан на компьютерах.

Выше было показано, что решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно искать в виде только с половиной возможных векторов и констант. Была приведена формула для начала вычислений:

Y(0) = М ∙с + ∙ .

Из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:

Y(0) = М ∙с + U ∙u

или

Y(0) = U ∙u  + М ∙с

или

Y(0) =  ∙ ,

Таким образом записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.

Далее запишем    V∙Y(1) = v      и   Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0)  совместно:

V∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = v

V∙ K(1←0) ∙Y(0)   = v - V∙Y*(1←0)

и подставим в эту формулу выражение для Y(0):

V∙ K(1←0) ∙  ∙ = v - V∙Y*(1←0).

V∙ K(1←0) ∙  ∙ = p.

Таким образом мы получили выражение вида:

D ∙ = p,

где матрица D имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4:

 ∙ = p.

Тогда можем записать:

D1∙ u  + D2 ∙ c = p.

Отсюда получаем, что:

c = D2  ∙ ( p - D1∙ u  )

Таким образом, искомые константы найдены.

Далее показано как применять этот метод для решения «жестких» краевых задач.

Запишем

V∙ K(1←0) ∙  ∙ = p.

совместно с K(1←0) = K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) и получим:

V∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙  ∙ = p.

Эту систему линейных алгебраических уравнений можно представить в виде:

[ V∙ K(1←x2) ] ∙  {  K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙  ∙  } = p.

[     матрица ] ∙  {                     вектор                                } = вектор

Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:

[ V∙ K(1←x2) ] {K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙  } =p .

И так далее.

В итоге поочередного вычленений матриц слева из вектора и ортонормирования получим систему:

D  ∙ = p ,

Отсюда получаем, что:

c = D2  ∙ (p  - D1 ∙ u )

Таким образом, искомые константы найдены.