Ниже рассмотрим некоторые практические особенности ознакомления учащихся начальной школы с алгебраическими понятиями. Здесь использовался опыт работы автора в 1999-2000 учебном году в средней школе № 4 г. Рыльска.

Вначале дети самостоятельно устанавливали признаки, по которым можно сравнивать те или иные предметы. Учитель показывает детям две гири (они разного цвета - черная и белая) и спрашивает, по каким признакам их можно сравнивать.

Ученики. Их можно сравнить по весу (показывают на весы), по высоте, по донышку (они имеют в виду размер - площадь основания).

Учитель. Что же можно сказать?

Ученики. Они не равны (по весу, высоте).

Учитель. Точнее как можно это выразить?

Ученики. Черная гиря тяжелее, выше, больше, толще белой.

Учитель. Что это значит - тяжелее? Черная гиря меньше белой по весу?

Ученики. (Смеются.) Нет, не меньше, а тяжелее... больше по весу.

Учитель. Белая гиря легче - как еще про это можно сказать?

Ученики. (Поднимает руки около половины класса.) Белая гиря меньше, легче по весу, чем черная.

Аналогичная работа при наводящих вопросах проводится и по отношению к другим признакам. Вместе с учителем дети устанавливают, что "тяжелее" - это больше по весу, "длиннее" - это больше по длине ("высоте", "росту"), "тверже" - это больше по твердости и т.д. (соответственно для "меньше"). При этом учитель ставит перед детьми различные задания, требующие учета таких "перешифровок".

Учащимся далее специально указывается на то, что слова "длиннее", "тяжелее" сами по себе говорят о признаках, которые сравниваются (получив соответствующие задания с этими словами, дети находят нужные предметы). Если же говорить "больше - меньше", то надо еще дополнительно отмечать, по какому признаку выполнилось сравнение (по весу, по площади и т.д.).

Заключительным этапом этой работы было выяснение того, что если можно найти признак, по которому предметы сравниваются, то они будут либо равными, либо неравными. Это можно записать особыми знаками "=" и "не равно". Но последний знак сам может быть уточнен - при неравенстве один предмет меньше или больше другого (по найденному признаку). Для этого есть свои знаки "<" и ">". Дети учились записывать результат сравнения всеми этими знаками. Выполняли они и "обратные" задания - по написанным знакам (">" или "<") подбирали самые различные предметы, сравнение которых удовлетворяет указанным отношениям, - кубики и кружечки (по объему), квадраты и треугольники (по площади), бруски (по вecy). (Мы упоминаем работу с дидактическим материалом; фактически же как здесь, так и в дальнейшем постоянно ставились задания, требующие выявления указанных отношений среди реальных объектов, среди бытовых вещей и т.д.).

При этом возникла своеобразная задача - отношение необходимо было определять по особому правилу "слева направо" ("Этот меньше этого" - слева направо). Для 3 - 4 детей требовались специальные указания учителя и выполнение ряда особых упражнений, чтобы они усвоили "направление" сравнения. Остальные учащиеся твердо усваивали этот момент после одного-двух разъяснений.

Учитель. Слева гиря тяжелее... (показывает на весы). Как это же самое можно сказать по-другому?

Толя С. Она (гиря) по весу... весит больше другой.

Лена К. Справа гиря меньше весит.

Учитель. Правильно. По виду гири как бы одинаковые, а вес разный. Как бы нам это записать - и гири отметить и то, что мы узнали... Запишем наш результат линиями - вот я буду их проводить - слева для левой гири, справа для правой. Сделаю их по длине равными: ведь гири по весу одна меньше другой...

Ученики. (Многие сразу поднимают руки; раздается гул удивления.) Нельзя так: ведь гири по весу не равны, а на доске линии одинаковой длины. Нельзя равными их рисовать.

Учитель. Так как же быть? Линиями я могу показать, какие гири, или не могу?

Ученики. Можете! Только не так!

Учитель. А как же? Кто сможет?

Ученики. (Поднимается несколько рук)

Учитель. (Вызывает трех учеников к доске.) Каждый сделает так, как считает нужным. Остальные рисуют самостоятельно в тетрадях.

Ученики выполняют задание (рисунки правильно выражают отношение), затем вместе с классом обсуждают результат.

На этом уроке затем изображались линиями отношения "больше", "равно" по весу, все три отношения при сравнении по объему, по длительности произнесения звука, по составу комплектуемых групп. Учитель предлагал детям и "обратные" задания: по линиям, нарисованным на доске, подобрать любые предметы, сравнение которых дает этот результат.

Через несколько уроков учащиеся получали неожиданное задание - записать результат сравнения каких-либо детей по росту не линиями, а кругами. Можно ли это сделать? Многие дети ответили утвердительно и самостоятельно выполнили эту запись в тетради или на доске; как правило, соотношение кругов по площади соответствовало результату. Учитель показывал детям, что тот же предмет можно записать еще квадратиками, треугольниками, - важно только, чтобы их соотношение по "размеру" (площади) было таким же, что и при сравнении. Эта работа вызывала у детей большой интерес. Особенно живо они воспринимали задания, когда, например, результат сравнения звуков по громкости можно было записать любыми средствами, кроме "привычных" линий. Ученики использовали круги, треугольники и квадраты, соотношение площадей которых правильно изображало отношение звуков по громкости или длительности. Большинство детей правильно объясняло смысл своих записей, связь между сравниваемыми предметами и их изображениями, а также их различие во всем, кроме "больше - меньше".

Таким образом, в этот период вводились средства записи, физические характеристики которых не имели ничего общего с характеристиками сравниваемых объектов (квадратами записывалась громкость звука и т.п.). Возможность такой записи определяется только изоморфизмом самих отношений равенства-неравенства, которые при подобных "перевоплощениях", собственно, и выделяются в чистом виде, превращаются в особый предмет дальнейших действий.

Для детей эта стадия работы имела большое значение. Во-первых, для них была понятной и оправданной сама возможность такого изображения "всего во всем". Во-вторых, теперь многие из них при интерпретации отношения, заданного знаком, стремились не только к подбору каких-либо реальных предметов (палочек, кубиков), но и к "быстрому" изображению отношения условным рисунком в тетради (проводятся линии, набрасываются квадратики - при соответствии указанному знаку). Для детей главным становится само отношение, его тип, а не предметы, в которых оно может проявляться.

На этой основе вводилась новая форма записи - буквенная (15-16-й уроки). Прямому введению буквенных формул на этих уроках предшествовала подготовительная работа, смысл которой состоял в том, чтобы детям были ясны два момента:

· результаты сравнения по одному и тому же признаку можно записывать разными "значками" (линиями, квадратиками, кружками и знаками),

· эти значки говорят о том, каковы вес, объем, твердость и другие признаки данного предмета по сравнению (именно по сравнению) с весом, объемом, твердостью другого или других предметов. Эти моменты обычно отрабатывались на примерах записи результатов сравнения металлической гирьки и деревянного бруска (гирька была тяжелее, но меньше по объему).

Учитель давал детям "свободу" в выборе значков, а затем, демонстрируя тетради, показывал, что у разных детей разные значки (у одних - линии, у других - круги и т.п.). Конечно, "так можно", но лучше выбрать значок, одинаковый и постоянный для всех, - таким значком, говорит учитель, люди выбрали букву. Если сравниваются: например, гирька и брусок по весу, то вес этой гирьки можно обозначить буквой А, вес же бруска - буквой Б (учитель записывает на доске А, Б). Но эти буквы одинакового "размера", этим они отличаются от других значков, например квадратиков. Как же быть? Как прочитать эту запись, если известно, что вес гирьки больше веса бруска? Вес гирьки - А, вес бруска - Б, - учитель таким способом подводил учащихся к цели, и значительная часть детей могла найти выход; дети вначале устно формулировали ответ: "Вес гирьки - это А, он больше веса бруска - Б".

Вместе с детьми учитель устанавливал, что в записи не достает знака "больше", который тут же и ставился - получалась формула А>Б. Эта запись снова расшифровывалась - дети поочередно объясняют ее смысл: "Вес гирьки, он А, он больше Б, веса брусочка". Учитель заменяет эту пару сравниваемых предметов другой - новые гирька и брусок, сохраняя прежнее отношение между собой, отличаются от старых размерами и цветами.

Учитель. Какой результат сравнения этих предметов по весу мы получили?

Ученики. Опять гирька по весу тяжелее брусочка.

Учитель. Вы теперь знаете новый значок для записи результата сравнения. Ну-ка, попытайтесь работать с помощью этого значка. Как записать вес этой гирьки? Вес брусочка? Запишем.

Ученики. Буквой А и буквой Б (вместе с учителем записывают в тетрадях А...Б).

Учитель. Эта запись уже про все нам говорит?

Ученики. Нет! Здесь про вес... а нужно еще про результат...

Учитель. Что же нам известно про этот результат? Как его записать здесь, когда у нас есть буквы? Попытайтесь сделать это самостоятельно.

Многие ученики, опираясь на предыдущую запись, ставят знак правильно - между буквами: А>Б; но некоторые дети ставят его строчкой ниже, хотя смысл записи объясняют правильно.

Учитель проверяет работу, еще раз показывает правила записи, место для знаков, спрашивает относительно смысла формулы, ее отдельных значков.

Учитель. Читается, ребята, это так: А больше Б. Но что такое А, что такое Б? Про что говорит нам эта запись?

Ученики. Запись говорит - мы сравнивали гирьку и брусок по весу: вес гирьки - это А; вес бруска - это Б. По весу гирька больше бруска. Вес гирьки больше веса брусочка. Записано: А больше Б.

Учитель мог заменить эту пару предметов новой и опять сравнивать по весу, но теперь гирька может быть легче бруска - записывалась и расшифровывалась формула А<Б.

Затем эти же предметы могли быть сравниваемы по другому параметру - по объему. При этом учитель специально подчеркивал, что предметы те же, а признак, по которому они сравниваются, меняется. Вначале вместе с учителем дети в устной форме находят, что по объему гирька меньше брусочка.

Учитель. Раньше этот результат вы записывали так - левая линеечка короче правой (показывает). Но теперь мы знаем другой значок - букву. Если мы объем этой гирьки обозначим буквой А, то как можно обозначить объем брусочка?

Ученики. Буквой Б (впрочем, некоторые дети начинают проявлять инициативу и предлагают другую букву - Г, Д, Ж).

Учитель. Хорошо. Запишите так: А...Б. Что такое А; что такое Б?

Ученики отвечают правильно.

Учитель. Но можно вес брусочка обозначить и другой буквой - здесь уже предлагали букву Д. Запишем пониже: А...Д. Сделали?

Ученики. Нет знака (ставят знак в обеих формулах: А<Б; А<Д).

Далее учитель опрашивает учеников - выясняет с ними смысл формул, устанавливает, что эти формулы говорят про одно и то же: объем гирьки меньше объема брусочка (А меньше Б; А меньше Д). При этом учитель постоянно обращает внимание детей на то, что буквы "говорят" о признаке, по которому происходит сравнение: в одном случае - о весе этой гирьки, в другом - о ее объеме (твердости, высоте и т.д.). Но сами по себе буквы результата сравнения не записывают - нужен связывающий их знак. И лишь вся формула (этот термин давался детям сразу) говорит об этом результате, о том, каков вес, объем, длина - этого предмета по сравнению с весом, объемом, длиной другого.

В течение нескольких уроков, вводя все новые и новые параметры (громкость и длительность звуков, площадь фигур и реальных предметов, сила удара, состав предметных групп для комплектования), учитель при небольшом наборе букв - А, Б, В, Д - приучал детей к новой форме записи. Во многих заданиях дети, получив формулу, например А=В, должны были подобрать любые предметы.

Учитель. Покажите свои предметы. Миша, ты показываешь два новеньких карандашика. Почему же ты выбрал такие карандашики, а не такие (берет с парты ученика карандаши разной длины).

Миша В. Такие нельзя - на доске в формуле сказано, что у нас равенство: А равно ведь В. Я взял и сравнил карандаши - и тот по длине равен этому (показывает).

Учитель. Хорошо. О чем говорят тебе буквы А и В?

Миша В. Они говорят о том, что карандаши равны.

Учитель. Об этом говорят буквы? Они сами - вот А и вот В говорят о равенстве?

Ученики поднимают руки. В классе оживление.

Учитель. Пока мы не будем ему помогать! Думай.

Миша В. (после небольшой паузы). Буквы говорят мне о длине карандашей - этого и этого.

Учитель. И все? Если буквы говорят о длине, то я беру карандаш такой длины - это А, и карандаш такой длины - это В: получила А меньше В.

Ученики. Так нельзя брать, тогда другая формула.

Миша В. У нас равенство - знак равенства стоит. Нужно брать карандаши равной длины, тогда правильно.

Учитель. Так что же говорит о самом равенстве?

Ученики. Знак, который стоит между буквами - вся формула.

Учитель. Я меняю знак в моей формуле - теперь записано А меньше В. Покажите на предметах, что это значит.

Дети находят соответствующие предметы; учитель выясняет основания для выбора - смысл букв, знаков, всей формулы; отметим, что дети показывают предметы, сравниваемые по разным параметрам, в частности, некоторые дети демонстрируют неравенство предметных групп по выбранному критерию.

Особая серия заданий, выполняемых в игровой форме, вводилась для того, чтобы подвести детей к идее того "набора" формул, посредством которого можно выразить все возможные отношения. Учитель, комментируя работу самих учащихся, показывал, что при всех различиях предметов, сравниваемых, например, по длине (здесь и полоски бумаги, и карандаши, и сами дети - при сравнении по росту и т.д.), и при всей разнице длин предметов одного "названия" (например, бумажных полосок) получается либо равенство, либо неравенство, а последнее дает либо "больше", либо "меньше". Поэтому, какие бы предметы ни сравнивались, получаются формулы: либо А=Б, либо А не равно Б. Неравенство уточняется либо как А>Б, либо как А<Б. К этой сетке формул, записанной в тетрадях, дети относили результаты любых частных сопоставлений; на специальном уроке учащиеся под руководством учителя "изощрялись" в выборе предметов, которые можно как-либо сравнивать, и результат сравнения всегда укладывается в одну из этих формул.

В процессе такой работы (кстати, вызывающей у детей большой интерес) учитель вместе с тем требовал отчета о том, какой признак обозначается буквой при соотнесении с нею результата сравнения. Этот момент имеет особое значение, так как дети фактически сталкивались с тем, что к одним и тем же формулам относятся результаты сравнения по длине, по объему, по весу, по силе, но буквы каждый раз говорят о длине, о силе, о весе этих предметов, а не о самих предметах.

Требование "конкретизации общего" было очень важным как для работы со "смыслом" формулы, так и для правильного увязывания буквы (знака) с ее объектом - конкретным, частным значением той или иной величины. Как уже отмечалось выше, обучение по этой теме мы стремились строить так, чтобы для самих; детей буква (во всяком случае на первом этапе) выступала как обозначение веса, объема, длины и всякого иного параметра данного предмета при сравнении с весом, объемом и длиной другого предмета. Буква выступала здесь в своеобразной функции общего знака для любого конкретного значения выделяемого параметра. Поскольку дети фактически выводили формулы при сопоставлении предметов по любым частным значениям этих параметров, а заданные формулы подобным же образом дети могли самостоятельно иллюстрировать, у нас есть основания полагать, что они использовали букву именно в этой функции.

На заключительных уроках темы особое внимание учитель уделял закреплению у детей представления о том, что результат каждого данного сравнения может быть выражен одной и только одной формулой из трех возможных и входящих в установленный "набор". Эта работа обычно проходила в виде "столкновения" разных формул, относимых к результатам одного сравнения. При этом проводилось обсуждение, устанавливающее неправомерность "двойной" или "тройной" записи и выбирающее "правильную" формулу.

Второй вопрос, рассматриваемый на этих уроках, касался довольно тонкого пункта: возможности применения разных букв и пределов такого разнообразия. Прежде всего учитель в ряде случаев не указывал, какие буквы следовало бы употреблять при записи результата сравнения. Ученики по собственной инициативе выбирали буквы. Учитель записывал на доске разные варианты: А>Д; Б>В, Ж>К и т.д., обсуждал вместе с детьми вопрос о том, одинаковые эти формулы или различные. Дети, как правило, самостоятельно устанавливали факт тождественности этих формул, ссылаясь на два момента: во всех случаях стоит знак "больше" и все формулы говорят об одном и том же результате.

Вместе с тем на ряде примеров учитель показывал, что при сравнении по разным признакам лучше употреблять разные буквы, чтобы на этом уроке знать, к чему какая формула относится (хотя на следующем уроке все это теряло смысл, так как те же буквы употреблялись в других ситуациях и т.д.).

Укажем еще один своеобразный момент. На первых порах некоторые дети (их, как правило, было в каждом классе немного) записывали результат сравнения буквами разных размеров, т.е. переносили сюда принцип моделирования предметными значками. Учитель показывал, что в формуле это делать излишне, так как все равно отношение указывается знаком неравенства. На некоторых уроках детям показывались формулы, буквы которых различались по "размерам", но со смыслом, противоположным знаку (например, А<в). Предлагалось подобрать соответствующие предметные иллюстрации; выполняя задание, дети опирались здесь на знак. Учитель же еще раз показывал, что "размер" самих букв может быть любым, - важен смысл формулы, записанной знаком и обозначающий сравнение "каких-либо" предметов (это выражение стало "обиходным" и для самих учащихся).

Работа по данной теме имеет первостепенное значение для развертывания всего начального раздела математики, так как по существу связана с построением в деятельности ребенка особого предмета - системы отношений, выделяющих величины как основу дальнейших математических преобразований. Буквенные формулы, заменяющие ряд предварительных способов записи, впервые превращают эти отношения в абстракцию, ибо сами буквы обозначают любые конкретные значения любых конкретных величин, а вся формула - любые, возможные отношения равенства или неравенства этих значений. Теперь, опираясь на формулы, можно изучать собственные свойства выделенных отношений, превращая их в особый предмет анализа.

Приведенные выше данные указывают на необходимость особой работы по ознакомлению детей со смыслом некоторых формальных особенностей оперированию математической символикой.