Пусть входящий в открытую марковскую сеть массового обслуживания поток заявок описывается чистым процессом размножения с интенсивностью , причем в i-ую систему массового обслуживания входящая заявка поступает с вероятностью . Времена обслуживания заявок в i-той системе массового обслуживания распределены по показательному закону , зависящим от текущего числа заявок в i-той системе  i=1,...,n.

Дисциплины обслуживания заявок в системе сети FIFO. Переходы заявок между системами, а также уход заявки из сети описывается неприводимой цепью Маркова. Заявка, завершающая обслуживание в системе , переходит с вероятностью  в систему ,  есть вероятность ухода заявки из i-ой системы массового обслуживания сети.

В этом случае многомерный процесс N (t), определяющий состояние сети, является многомерным аналогом процесса размножения и гибели. Предположим, что существует стационарное распределение

,

принимает все возможные значения. Тогда, аналогично как и для одномерного процесса размножения и гибели, можно показать, что стационарное распределение единственно и удовлетворяет системе уравнений равновесия (баланса), которая представляет собой систему линейных разностных уравнений:

Для упрощения системы (1) введем величины  так, что  есть полная интенсивность поступления заявок в системы . Интенсивность состоит из интенсивности потока заявок, поступающих извне , и интенсивности поступления заявок в систему  от других СМО, в том числе и от самой системы .

Поэтому  (2).

Из (2) получим  (3).

Соотношение (2) иногда называют законом сохранения потока заявок. Оно говорит о том, что интенсивность входящего потока заявок в i-тую СМО, i=1,..., n, в стационарном режиме равна интенсивности входящего потока заявок из этой системы.

Теорема1. (Джексона) Стационарное распределение может быть найдено в виде:

Нахождение решения для немарковского случая

Составив и решив систему дифференциально-разностных уравнений, найдется вид функции распределения

для случайного процесса . Тогда можно найти  и .

Так что нахождение функций

решит поставленную задачу.

Марковский случай

Описание модели

                             1

Сеть массового обслуживания

Дана открытая марковская сеть массового обслуживания, состоящая из трех подсистем. Состояние сети в момент времени t определяется вектором

число заявок в i-ой подсистеме в момент времени t. Входящий поток является пуассоновским потоком с параметром . Времена обслуживания заявок в i-ой системе массового обслуживания распределены по показательному закону с параметром , зависящим от текущего числа заявок в i-ой системе, i=1,2,3.

Заявки поступают из общего потока заявок во второй узел и первый узел с вероятностями  и  соответственно. После обслуживания во втором узле заявки поступают на третий узел. А после обслуживания на первом узле заявки поступают с вероятностью  в третий узел либо с вероятностью  в первый узел, либо с вероятностью  в третий узел. После обслуживания на 3 узле заявки уходят из системы.

Уравнения равновесия

Предположим, что существует стационарное распределение . Составим уравнение равновесия.

P

 P +  P +

+ P + P  +

+ P + P +

+  P