Метод Эйлера заключается в следующем.
Решение системы (1) находится в виде:
(5)
Функция (5) является решением системы (1), если – собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу . Если собственные значения 1, 2, … , n матрицы А попарно различны и a1, a2, …, an соответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется формулой :
где С1, С2, … , Сn – произвольные числа.
Для случая кратных корней решение системы принимает вид
(6)
где Pi(x)-полиномы степени не выше, чем (к-1), имеющих в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что среди коэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся к·n-k выражаются через них. Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (6) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k·n-k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные.
Если для кратного собственного значения матрицы А имеется столько линейно независимых собственных векторов , какова его кратность, то ему соответствует k независимых решений исходной системы:
Если для собственного значения кратности k имеется только m (m<k) линейно независимых собственных векторов, то решения, соответствующие , можно искать в виде произведения векторного многочлена степени k - m на , т.е. в виде:
Чтобы найти векторы , надо подставить выражение (4) в систему (3). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях системы, получим уравнение для нахождения векторов .
Для данного задания были найдены следующие собственные значения:
.
Построили фундаментальную систему решений:
Найдем 1 строку фундаментальной матрицы решений для характеристического числа . Запишем третью строку решений в общем виде:
Где аij найдем по выражению:
или
Полученная матрица:
Решаем систему:
Полученные корни:
Доопределим
Тогда первая строка будет иметь вид:
Аналогично найдем вторую строку фундаментальной матрицы решений для первого характеристического числа -1. Полученные значения:
Тогда вторая строка будет иметь вид:
Найдем третью и четвертую строки фундаментальной матрицы решений для первого характеристического числа . Сопряженный корень не порождает новых вещественных линейно независимых частных решений.
Полученные значения:
Отделяя в нем вещественные и мнимые части, получим два вещественных решения, которые и составляют первую и вторую строки фундаментальной матрицы решений
Аналогично остальные 3:
Запишем найденную фундаментальную матрицу решений:
Умножим транспонированную фундаментальную матрицу решений на вектор свободных коэффициентов и получим вектор общего решения исходной системы:
Сделаем проверку найденного решения следующим образом:
Получаем нулевую матрицу-столбец:
что показывает, что общее решение найдено верно.
Дата: 2019-07-24, просмотров: 179.