Задача о нахождения приближенных значений действительных корней уравнения f(x)=0 предусматривает предварительное отделение корня, т.е. установление промежутка, в котором других корней данного уравнения нет. Будем предполагать, что функция f(x) в промежутке [a, b] непрерывна вместе со своим производным f’(x) и f’’(x), значения f(a) и f(b) функции на концах промежутка имеют разные знаки, т. е. f(a)*f(b)<0, и обе производные f’(x) и f’’(x) сохраняют знак во всем промежутке [a, b].

Так как действительным корнями уравнения f(x)=0 являются абсциссы точек пересечения кривой у = f(x) с осью Ox, то отделение корня можно произвести графически. Вместо уравнения у = f(x) можно взять уравнения у = rf (x), где r – постоянная величина, отличная от нуля, так как уравнения f(x) =0 и rf (x) =0 равносильны.

Постоянную величину r можно взять так, чтобы ординаты точек графика не были чрезмерно большими или, наоборот, чтобы график не был слишком близок к оси Ox. Иногда бывает полезно уравнение f (x)=0 записать в виде (x) = (x). Действительными корнями исходного уравнения служат абсциссы точек пересечения графиков функций y = (x) и у = (x)

1.Метод деления отрезка пополам. Интервал изоляции действительно корня всегда можно уменьшить путем деления его, например, пополам, определяя, на границах какой из частей первоначального интервала функция f (x) меняет знак. Затем полученный интервал снова делят на две части и т.д. Такой процесс проводится до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответ десятичные знаки.

2.Метод касательных. Пусть действительный корень уравнения f (x)=0 изолирован на отрезке [a, b]. Будем предполагать, что все ограничения, сформулированные выше относительно f(x), сохраняют силу и в этом случае. Возьмем на отрезке [a,b] такое число xo, при котором f(xo) имеет тот же знак, что и fn (xo), т.е. f(xo) o) >0 (в частности, за xo может быть принят то из концов отрезка [a,b], в котором соблюдено это условие). Проведем в точке Mo[ xo; f (xo)] касательную к кривой y=f (x).За приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox. Это приближенное значение корня находится по формуле

 х1 = х0 - f(хо)/ fI (хо)

Применив этот прием вторично в точке M1[ x1; f (x1)], найдем

 X2= X1 – f ( x1)/( x1)

и т. д. Полученная таким образом последовательность xo, x1,x2 … имеет своим пределом искомый корень.

 Для оценки погрешности приближенного значения корня, найденного методом Ньютона, может быть использовано неравенство

| х - ξ | < [f(ξ) ]2/2 × max | fII(х)/ [fI(х) ]3|

[a., b]

3. Комбинированный метод хорд и касательных. Пусть требуется найти действительный корень уравнения f (x)= 0, изолированный на отрезке [a,b]. Предполагается, что f (a) и f (b) имеют равные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке [a,b] такую точку xo, что f (xo) и f” (xo) (при x, принадлежащем промежутку изоляции) имеют одинаковые знаки.

Воспользуемся формулами методов хорд и касательных:

X11=Xo- f (xo) / f1(xo); X12 = a – (b – a ) f (a) / f (b) – f (a).

Величины X11 и X12 принадлежат промежутку изоляции, причем f (X11) и f (X12) имеют разные знаки.

X21=X11- f (x11) / f1(x11); X22=X11-(X12-X11) f (X11) / f (X12) – f (X11).

Точки X21 и X22 на числовой оси расположены между точками X11 и X12, причем f (X21) и f (X22) имеют разные знаки.

Вычислим теперь значения

X31= X21- f ( x21) / f1( x21); X32= X21-( X22- X21) f ( X21) / f ( X22) – f ( X21).

Каждая из последовательностей X11, X21, X31,... Xn1, …; X12, X22, X32, …, Xn2, …стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно возрастает, а другая – монотонно убывает. Пусть, например, Xn1 < X< Xn2, тогда 0 < X- Xn-1 < Xn2- Xn2 – Xn1. Задав заранее достаточно малое  мы можем, увеличивая n, добиться выполнения неравенства Xn2 – Xn1 < ; следовательно, при этом же значении n будет выполняться неравенство

X – Xn1 < . Таким образом, Xn1 является приближенным значением корня X, вычисленным с погрешностью, не превышающей .

Так, например, для нахождения приближенного значения X с точностью до 0,001 нужно определить n таким образом, чтобы значения Xn1 и Xn2, вычисленные с точностью до 0,001, совпадали.