Бесконечной длины

Возьмем два параллельных круглых проводника 1 и 2 (рис. 4), расположенных в одной плоскости на расстоянии друг от друга и обтекаемых токами i₁ и i₂. Расчет будем производить первым методом. Проделав все операции аналогично выражениям (2) — (8) и учитывая, что sin β = 1, так как проводники расположены в одной плоскости, и вектор индукции в данном случае перпендикулярен этой плоскости (β=90°), получим

,                                                                      (15)

где

Выразим подынтегральные переменные второго интеграла через одну из переменных, а именно через угол α. Примем за начало координат элемент dy и направление токов, совпадающее с положительным направлением координат. В этом случае текущая координата

(16)

Подставив полученные выражения в уравнение (15) и считая, что проводник 2 распространяется от — ∞ до + ∞, чему соответствует изменение угла α от π до 0, получим

                                                 (17)

Очевидно, если проводник 1 (l ₁), так же как и проводник 2, распространяется до ±∞, то с будет стремиться к бесконечности.

Конечной длины

Если проводник 1 имеет конечную длину, то

                                                                                 (18)

Согласно выражению (8) сила, действующая на проводник 1, равна

                                                                     (19)

Уравнение (19) определяет силу взаимодействия между двумя проводниками, один из которых бесконечно длинен, а второй имеет конечную длину l и расположен симметрично относительно первого. В случае, когда оба проводника будут иметь конечную длину l, пределы интегрирования для выражения (17) будут уже не от π до 0, а от α ₂ до α ₁ (см. штриховые линии на рис. 4) и сила взаимодействия между двумя круглыми проводниками конечной и равной длины определится уравнением

.                                          (20)

В уравнении (20) множитель перед скобками представляет собой силу взаимодействия между двумя проводниками, один из которых имеет бесконечную длину. Обозначим эту силу через F_∞. Коэффициент, заключенный в скобках, представляет собой величину, меньшую единицы. При α/1<0,2 (в практике, как правило, α/1<< 0,2) величиной (α/ l )² по отношению к единице можно пренебречь. Тогда уравнение (20) примет вид (21)

                                       (21)

Неравной длины

В практике весьма часто проводники имеют неравную длину. Силу взаимодействия между такими проводниками можно найти изложенным выше способом, производя интегрирование каждый раз в соответствующих пределах. Можно эту задачу решить, применив уравнение (20).

На рис. 5 приведены два проводника неравной длины l₁ и l₂, расположенные друг от друга на расстоянии а и обтекаемые токами i₁ и i₂. Нарастим проводник l₂ на отрезок l₃ до длины, равной l₁. Проводник l₁ можем также представить состоящим из двух отрезков l₂ и l₃. Тогда можем написать, что сила взаимодействия между проводниками длиной l₁ и l₂ ( F l ₁ l ₂ ) равна сумме сил взаимодействия между двумя проводниками l₂ одинаковой длины ( F l ₂ l ₂ ) и двумя проводниками длиной l₂ и l₃ ( F l ₂ l ₃ ):

                                                                  (22)

Аналогично можно написать

                                                          (23)

Сложив уравнения (22) и (23), получим

                                                        (24)

Таким образом, сила взаимодействия между двумя проводниками неравной длины выражается через силу взаимодействия проводников равной длины:

                                                     (25)

При этом l₁ и l₂ — величины заданные, а l₃= l₁ - l₂.

Сила взаимодействия между круглыми параллельными проводниками может быть также определена по изменению запаса электромагнитной энергии.

Первый случай — оба проводника принадлежат к одной системе. Индуктивность системы из двух параллельных проводников радиусом r и длиной l, находящихся на расстоянии а, при условии, что l >> а, определяется формулой

                                                             (26)

Нас интересует сила, действующая в направлении а. Согласно выражению (13)

                                                                        (27)

из уравнения (26)

тогда

                                                 (28)

Из выражения (28) видно, что результат получился таким же, как и при определении этих сил, первым методом.

Второй случай — проводники принадлежат к двум различным системам, при этом сами системы не претерпевают деформации. Взаимная индуктивность между двумя проводниками длиной l, находящимися друг от друга на расстоянии а, при условии, что l >> а, определяется формулой

                                                                   (29)

Согласно формуле (13) сила, действующая в направлении а,

где

так как сами системы не претерпевают деформации, а из выражения (29)

Тогда

                                                                    (30)

т.е. результат, как и следовало, получился тот же.

Для двух параллельных проводников, расположенных с любым сдвигом, Г.Б. Холявский получил удобную для расчета коэффициента контура формулу, основанную на геометрической интерпретации приведенных выше уравнений.

Величина  представляет собой длину диагонали D (рис. 6) прямоугольника со сторонами l и а; следовательно, согласно уравнению  (20) для проводников равной длины

                                        (31a)

а согласно уравнению (25) для проводников неравной длины (рис. 7)

                                        (31б)

т.е. коэффициент контура равен разности суммарных диагоналей и боковых сторон четырехугольника (прямоугольник, трапеция, параллелограмм), построенного на данных отрезках проводников, деленной на его высоту.

Для проводников прямоугольного сечения (шин) следует вводить поправочный коэффициент — коэффициент формы k_ф, зависящий от размеров проводников и расстояний между ними:

                                                                                  (32)