В разделах 2.3.1-2.3.2 был осуществлен вывод передаточной функции САР по ее структурной схеме, как зависимости от передаточной функции звеньев системы , где n – число сигналов системы.

Так как главная передаточная функция САР

,                                           (2.14)

где X ( p ) и Y ( p ) – изображения по Лапласу соответственно входной и выходной величин

;  ,

то для входного единичного ступенчатого воздействия :

,

.                              (2.15)

    Окончательно для изображения выходной величины получим:

,     (2.16)

где

Для аналитического получения переходного процесса в системе сначала нужно найти корни знаменателя (характеристического уравнения САР) . Один корень , а остальные n корней являются корнями полинома . Одним из методов нахождения любых (действительных или комплексно-сопряженных) корней полинома произвольной степени является численный метод Берстоу [1].

Сущность метода заключается в следующем. Из исходного полинома  выделяется приведенный квадратный трехчлен. Если корни квадратного трехчлена  являются корнями исходного полинома,  то  должно делиться на без остатка [1].

Таким образом, исходный полином представляется как

           (2.17)

где

                                    (2.18)

Деление без остатка означает, что коэффициенты   и  должны быть равны нулю. Как видно из формулы (2.18) коэффициенты   и  являются функциями коэффициентов трехчлена  r , q и коэффициентов исходного полинома :

Так как коэффициенты исходного полинома  в общем случае неизвестны, то необходимо исследовать зависимость , .

Для нахождения корней методом Берстоу необходимо выбрать начальное приближение для коэффициентов трехчлена r и q. Затем значения коэффициентов r и q уточняются с помощью коррекции

                             (2.19)

Требуется, чтобы остаточные члены, ,  обращались в ноль в процессе вычисления. Если эти функции разложить в ряд Тейлора в окрестности точки , то получим:

(2.20)

Если предположить, что при уточнении r и q остаточные члены близки к нулю, то левые части этих уравнений обратятся в нуль. Тогда, решая (2.20) относительно  и  и пренебрегая членами более высоких порядков, получим:

                           (2.21)

где   и  являются функциями , которые в свою очередь зависят от r и q. Поэтому необходимо получить последовательность частных производных  продифференцировав коэффициенты в формуле (2.18) по r и q. Получим:

 (2.22)

(2.23)

Производные  используются для коррекции коэффициентов по формулам (2.21). Вычисления коэффициентов r и q по выражениям (2.21), (2.19) ведутся до тех пор, пока полученные значения коэффициентов  и  не будут равны нулю с некоторой точностью :

                                               (2.23)

Это означает, что корни трехчлена  являются с некоторой точностью  корнями исходного полинома .

После нахождения пары корней

,                                  (2.24)

трехчлен исключается из , и процедура повторяется для полинома степени , являющегося результатом деления в формуле (2.18):

.    (2.25)

Если порядок полинома  меньше или равен двум, то вычисление корней заканчивается, а оставшиеся корень или два корня находят из решения линейного или квадратного уравнения. В результате получим все корни полинома .