В практических задачах количественная (кардинальная) и транзитивная (порядковая) однородность (согласованность) нарушается, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения однородности в числовых суждениях, какая бы величина a_ij ни была взята для сравнения i-го элемента с j-м, a_ij приписывается значение обратной величины, т. е. а_ij = 1/a_ij. Отсюда следует, что если один элемент в а раз предпочтительнее другого, то последний только в 1/а раз предпочтительнее первого.

При нарушении однородности ранг матрицы отличен от единицы и она будет иметь несколько собственных значений. Однако при небольших отклонениях суждений от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения λ_max от порядка матрицы п.

Однородность суждений оценивается индексом однородности (ИО) или отношением однородности (OO) в соответствии со следующими выражениями:

где М(ИО) — среднее значение (математическое ожидание) индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений [E], которое основано на экспериментальных данных (табл. 2.3), полученных в работе [2].

Таблица 2.3

Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

В качестве допустимого используется значение OO ≤ 0,10. Если для матрицы парных сравнений отношение однородности OO > 0,10, то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

Синтез приоритетов на иерархии и оценка ее однородности

Иерархический синтез

Иерархический синтез используется для взвешивания собственных векторов матриц парных сравнений альтернатив весами критериев (элементов), имеющихся в иерархии, а также для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов нижележащего уровня иерархии. Ниже рассматривается алгоритм иерархического синтеза с учетом обозначений, принятых в предыдущей иерархии (см. рис. 2.1).

Ш а г 1. Определяются векторы приоритетов альтернатив  относительно элементов Eⁱ_j предпоследнего уровня иерархии (i = S). Здесь через Eⁱ_j обозначены элементы иерархии, причем верхний индекс i указывает уровень иерархии, а нижний индекс j — порядковый номер элемента на уровне. Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив W^A_S относительно уровня иерархии S осуществляется по итерационному алгоритму, реализованному на основе соотношений (2.2) и (2.3) по исходным данным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В результате определяется множество векторов:

Ш а г 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов E ⁱ _j . Данные матрицы построены таким образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны. Например, для вычисления векторов приоритетов элементов третьего иерархического уровня (см. рис. 2.1) обрабатываются следующие три матрицы попарных сравнений:

В матрицах через v_j обозначен вес, или интенсивность, Е _j -го элемента.

В результате обработки матриц попарных сравнений определяется множество векторов приоритетов элементов:

Полученные значения векторов  используются впоследствии при определении векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов иерархии.

Шаг 3. Осуществляется собственно иерархический синтез, заключающийся в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Е ⁱ _j находящихся на всех иерархических уровнях, кроме предпоследнего, содержащего элементы Е ^S _j. Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление проводится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.

Общий вид выражения для вычисления векторов приоритетов альтернатив определяется следующим образом:

где   — вектор приоритетов альтернатив относительно элемента E₁^{i -1}, определяющий j-й столбец матрицы;

 — вектор приоритетов элементов E₁^{i -1}, E₂^{i -1},..., E_n^{i -1}, связанных с элементом Ej вышележащего уровня иерархии.

Ниже приведен конкретный пример по вычислению векторов приоритетов альтернатив относительно элементов третьего (E³_j), второго (Е²_j ) и первого (Е¹ _j ) уровней иерархии с учетом конкретных связей между элементами иерархии (см. рис. 2.1).

Определение векторов приоритетов альтернатив для элементов второго уровня осуществляется следующим образом:

Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно корневой вершины иерархии Е¹₁ вычисляется следующим образом:

Рассмотренная модификация МАИ может эффективно применяться при решении широкого класса социально-экономических и управленческих задач.