Даннаямодельможетбытьописанавыражением,количественноопределяющим вероятность  успешной передачи пакета от  -го узла беспроводной сенсорной сети  -му.

Здесь и далее предполагается, что отправка пакетов -ым узлом в процессе работы сети образует простейший поток событий с интенсивностью , а прием пакетов этим же узлом – простейший поток с интенсивностью , где  – множество узлов, которые могут передать пакет в адрес -го узла; – множество узлов, которым может быть передан пакет от -го узла (см. Рис. 11)

Рисунок 11 Потоки событий наi -ом узле сети

Величиной  наРис. 11обозначенаинтенсивностьпотокасобытий,соответствующих безуспешнымпопыткампередачипакета-ымузлом.Этувеличинуможноопределить следующим образом[21]:

где  – математическое ожидание количества попыток передачи пакета от  -го узла  -му, необходимое для успешного его приема:

где  – вероятность передачи пакета с первой попытки от  -го узла  -му.;  – интенсивность передачи пакетов от  -го узла сети  -му.

Таким образом, можно записать:

Алгоритмрасчетавероятности  основаннаодномизвозможныхпринциповработы механизма маршрутизации в беспроводных сенсорных сетях [16]. Пусть на каждом  -ом узле имеется ограниченная таблица маршрутизации (определяющая множество  соседних с  -ым узлов, которым им может быть переданпакетданных).Записивэтойтаблицеранжированыпопредпочтительности использованиякаждогонаправленияприпередачепакета.Длякаждогоновогопакета, поступающего на  -ый узел и нуждающегосяв дальнейшей ретрансляции, делается максимум  попытокегопередачи  -муузлуизмножества , указанномупервымвтаблице маршрутизации  -го. Если все попытки оказались неудачными, то из множества  выбирается  узел, соответствующий следующей записи в таблице маршрутизации, и  -ый узел пытается передать пакет ему, и т.д. Пакет, который до поступления на  -ый узел следующего пакета не удалосьпередатьниодномуизузлов,указанныхвтаблице,удаляетсяизсистемы (теряется).

Ёмкость таблицы маршрутизации, определяющая мощность множества  для  -го узла, как и максимальное количество повторных попыток передачи  не регламентируются стандартами и при построении сети могут быть выбраны произвольно.

Таким образом, выражение для расчета  может быть записано следующим образом:

где – вероятность непередачи  -ым узлом пакета тем узлам, которые находятся выше  -го в его таблице маршрутизации:

 – максимальное количество неудачных попыток передачи пакета одному узлу;  – вероятность передачи пакета с  -ой попытки:

где  – вероятность передачи пакета с первой попытки:

где  – вероятность работоспособности (надежность)  -го узла беспроводной сенсорной сети;  – надежность коммуникации между узлами, определяемая параметрами радиоканала;  – вероятность коллизии, обусловленной эффектом «скрытого узла»[29].

 – вероятность того, что узел сможет осуществить  попыток передачи пакета за время . Этавероятностьопределяетсямеханизмомконкурентногодоступаксреде, используемым в беспроводных сенсорных сетях и регламентированным стандартом IEEE 802.15.4 [11].

Очевидно,чтоуспешнаяпередачапакетаможетбытьосуществленатолькопри выполнении условия[23]:

где  – время ожидания узлом начала передачи перед осуществлением  -ой попытки из возможных, обусловленное конкурентным доступом к среде;

 – время,затрачиваемое узлом непосредственно на процесс передачи (приема) пакета фиксированной длинны  байт, , где – скорость передачи данных, байт/сек;

 –периодвремени,втечениекотороговозможнапередачаочередногопакета  -ым узлом вадрес  -го. Величина  различна для каждого  -го узла из множества  (таблицы маршрутизации  -го узла) и определяется на основе интенсивности потоков приема и передачи пакетовна  -омузле,длиныпакетов,допустимогоколичествапопытокпередачиисреднего времени ожидания узлом возможности выхода в эфир:

где  – среднеезначениевремени,котороеможетбытьзатрачено  -ымузломна передачу одного из пакетов ретранслируемого им потока:

где  – интенсивность передачи пакетов  -ым узлом в адрес узлов из множества ; – среднее значение времени ожидания узлом начала передачи пакета.

Такимобразом,выражениедляопределениявероятности  можно записать в виде:

гдеправаячастьпредставляетсобойфункциюраспределениясуммарноговремени ожиданияузломначалапередачи,обусловленногоконкурентнымдоступомксреде,для попыток.

Далее будетрассмотреноописаниематематическихмоделей, количественно определяющих вероятности , , , .

Модель надежности узла

Определимрегламентобслуживаниясетикакрегулярныйспериодом  контрольи заменунеисправныхузлов. Ограничениенанадежностьузловбеспроводной сенсорной сетиобусловленоразрядомих батареивпроцессеработысети,атакжевозможностьюслучайноговыходаихизстроя, вызванного отказом аппаратного или программного обеспечения, внешними воздействиями и т.д.[20,21,23]

Запишемвыражениедляопределениявероятностиработоспособности  -гоузлана заданный момент времени в виде[16]:

где  - вероятность случайных отказов  -го узла, закон распределения которых можно в первом приближении принять экспоненциальным [21]:

где  –интенсивностьслучайныхотказов.Даннаявеличинавыбираетсяисходяиз эмпирических соображений на основе статистики отказов узлов в функционирующих сетях;

 –вероятностьработоспособностиисточникапитания (батареи)узла.Для описаниянадежностиисточникапитанияпримемупрощенную модель,подразумевающуюего равномерный разряд в течение времени . Основное потребление энергии узлом происходит приактивнойработеегоприемникаилипередатчика,поэтомувремяразрядабатареибудет обратно пропорционально длине пакетов и совокупной интенсивности их приема/передачи  , рассчитанной с учетом неудачных попыток:

где  –среднеевремянепрерывнойработыузладоразрядабатареипри приеме/передаче данных с максимально возможной плотностью,  – время трансляции пакета;

 - интенсивность потока событий безуспешных передач пакета  -ым узломв адрес  -го узла, ее величина может быть получена:

Будемполагать,чтопоистечениивремени . смоментазаменыбатареиузелтеряет работоспособностьсвероятностью 1.Заменаразряженныхбатарейузловосуществляетсяс периодичностью  (одновременнодлявсехузлов)[16].Такимобразом,длявеличины можно записать:

где -количествопрошедших периодоврегламентныхработсначалаработысетидо последнейзаменыисточникапитания, –количествополныхпериодоврегламентныхработ, прошедших с момента замены источника питания до отказа узла.