Каждый член ряда (3) удовлетворяет граничным условиям на контуре рассматриваемой пластины, т.е. условиям равенства нулю в точках на контуре величины прогиба пластины и изгибающих моментов:

 (4)

Уравнение, устанавливающее сочетание нагрузок Т₁ и Т₂, при котором свободно опёртая по контуру прямоугольная пластина может потерять устойчивость (8)

Подставляя формулу (3) в дифференциальное уравнение (1), Получим

или

 (5)

Рассматриваемая пластина может потерять устойчивость при таком сочетании нагрузок Т₁ и Т₂, при котором какая-либо из скобок, входящих в выражение (5), обратится в нуль.

При этом соответствующее А_mn может стать отличным от нуля и форма потери устойчивости пластины будет

 (6)

Таким образом, эйлерово сочетание нагрузок Т₁ и Т₂ определится из условия:

Учитывая обозначения (2), получим

 (7)

Или

 (8)

Устойчивость прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, одинаково сжатой в обоих направлениях. (11)

Для дальнейшего исследования полезно выражение (7) переписать следующим образом:

 (9)

При различных комбинациях чисел "m" и "n" мы имеем, на основании выражения (9) линейную зависимость между напряжениями σ₁ и σ₂.

Будем откладывать на оси абсцисс некоторой системы координатных осей напряжение σ₁, а на оси ординат-напряжение σ₂ (рис.2). Тогда любой точке плоскости будет соответствовать некоторая комбинация напряжений σ₁ и σ₂

Рис.2

Рассматривая пластину с определенным отношением сторон а: b, можем, задаваясь различными "m" и "n", построить ряд прямых по уравнениям (9). Область тех напряжений, при которых пластина не теряет устойчивости, будет ограничена ближайшими к началу координат участками всех построенных прямых различных "m" и "n".

Легко убедиться, что для определения этих участков нужно построить лишь прямые, соответствующие различным "m" при n=1 и различным "n" при m=1.

Если σ₁=σ_2., т.е. пластина одинаково сжата в обоих направлениях, то на основании выражения (9) получим

σ₁=σ_{2  (}10)

Правая часть формулы (10) растет при увеличении чисел "m" и "n". Поэтому в таком случае для разыскания эйлеровых значений сжимающих напряжений следует в формуле (10) положить m = n =1. Тогда получим

 (11)

где  - цилиндрическая жесткость пластины.

Следовательно, одинаково сжатая в двух пластина теряет устойчивость с образованием одной полуволны независимо от величины отношения а: b.

Расчёт эйлеровых значений сжимающих усилий прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, одинаково сжатой в обоих направлениях.