Следствие 2
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Воспользуемся следствием 2 для доказательства теоремы об отношении
площадей треугольников, имеющих по равному углу.
Теорема
Ели угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Доказательство:
Страница 10
Пусть S и 
– площади треугольников ABC и 
, у которых 
(см. рис.) Докажем, что 
.
Наложим треугольник 
на треугольник ABC так, чтобы вершина 
совместилась с вершиной А, а стороны 
и 
наложились соответственно на лучи AB и AC. Треугольники ABC и A 
C имеют общую высоту CH, поэтому 
. Треугольники A C и A 
также имеют общую высоту 
, поэтому 
. Перемножая полученные равенства, находим:
= 
или 
.
Теорема доказана. 
С
A B 
Площадь трапеции
Докажем следующую формулу для вычисления площади трапеции:
Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны.
Доказательство. Пусть ABCD – данная трапеция ( 
), 
– середина стороны 
– перпендикуляр, опущенный из точки на прямую 
. (рис. 1)
Рис. 1
Проведём через точку K прямую, параллельную прямой АВ. Пусть М и Р – точки её пересечения с прямыми ВС и AD. Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции, так как пятиугольник АВСКР является для них общим, а треугольник СМК конгруэнтен треугольнику KPD, т.е. трапеция и параллелограмм составлены из одинаковых частей.
Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его основания АВ на высоту КН, утверждение доказано.
Замечание. Последний абзац решения можно (более формально) записать и так:
,
(по построению),
(по стороне и двум прилежащим углам), поэтому
,
следовательно, 
.
Теорема Пифагора
Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора.
Она является важнейшей теоремой геометрии.
Теорема
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.
Докажем, что 
.
Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b. Площадь S этого квадрата равна 
. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 
, и квадрата со стороной c, поэтому
Откуда
Доказательство Евклида
Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.
Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника – BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.
Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.
Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, – это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно – AB=AK, AD=AC – равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата – 90°).
Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.
Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.
Дата: 2019-05-29, просмотров: 222.
