(ок. 780–787 гг. – ок. 850 г.)

Падение Рима в середине V века н. э. ознаменовало наступление Средневековья. Уже к этому времени научная деятельность в Римской империи находилась в упадке. Средние же века охарактеризовались периодом застоя в науке всего христианского мира. Как это ни прискорбно констатировать, но во многом этот застой был связан именно с распространением христианства. В средневековой Европе не было места новым исследованиям, экспериментам, открытиям. При этом, что кажется удивительным, деятельность большинства ученых сводилась к изучению трудов античных авторов (то есть язычников). Особым авторитетом пользовались работы Аристотеля. К сожалению, далеко не всем античным авторам так повезло. За период Средневековья, став жертвой падения интереса к наукам, всеобщего невежества, или просто планомерного уничтожения, кануло в Лету огромное количество древних текстов. И таких потерь было бы гораздо больше, если бы научную эстафету не подхватили ученые Ближнего и Среднего Востока. Недаром многие труды античных авторов дошли до нас только благодаря арабским переводам. Но, в отличие от европейских коллег, арабские ученые не ограничивались переводами и компилированием работ более ранних авторов. Они смело вносили в научную картину мира данные, полученные ими самостоятельно. Одним из таких ученых, чей вклад в развитие науки трудно переоценить, был Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми.

В VII–VIII веках Арабский халифат стал мощной державой, простиравшейся от Ирана до Средиземного моря. На первых порах, завоевывая новые земли, арабы проявляли крайне враждебное отношение к культуре народов, их населяющих. Так, например, в 712 году, захватив Хорезм[4], арабы уничтожили всю научную литературу, а ученых подвергли жестокому истреблению. Но со временем на смену этой политике пришло более лояльное отношение, а затем и интерес к научным и культурным достижениям завоеванных народов.

Знаменитый герой сказок «Тысячи и одной ночи» халиф Гарун аль-Рашид (Харун Рашид) на самом деле был вполне исторической личностью. Родился он по разным данным в период между 763-м и 766-м годами и принадлежал к династии Аббасидов, ведущих свой род от Аббаса, дяди пророка Мухаммеда. В 786 году Гарун аль-Рашид стал халифом. Правление его вполне можно назвать просвещенным: он покровительствовал развитию наук и образования. После смерти халифа в 809 году двое его сыновей – старший – аль-Амин и младший – аль-Мамун (тоже, как и отец, ставший впоследствии героем «Тысячи и одной ночи») вступили в длительную борьбу за власть. В 813 году аль-Мамун победил брата и стал халифом. Он унаследовал желание отца сделать Арабский халифат просвещенным государством. Аль-Мамун создал в Багдаде так называемый «Дом мудрости» – академию, в которую он пригласил весь цвет арабского научного мира. При «Доме мудрости» была также основана крупная библиотека, в которой делались переводы античных авторов на арабский язык. Именно благодаря этой библиотеке и ученым, работавшим при ней, до наших дней дошло огромное количество утраченных в Европе текстов древних ученых. Также аль-Мамун построил несколько обсерваторий, заложив основы будущего процветания астрономии в арабском мире.

О жизни Хорезми не сохранилось практически никакой информации. Прежде всего вызывает споры место рождения ученого. Часто пишут, что он был родом из Хорезма. Но поскольку такой вывод делается только на основании его прозвища аль-Хорезми, многие исследователи считают, что выходцами из Хорезма вполне могли быть его предки, и нет серьезных оснований принимать за основу версию о том, что он появился на свет именно в Хорезме.

Известно, что Хорезми жил и работал в Багдаде во времена правления халифов аль-Мамуна, аль-Мутасима и аль-Васика. В «Доме мудрости» ученый работал в библиотеке и одно время даже возглавлял ее. Дата смерти Хорезми точно неизвестна. Предполагается, что он умер приблизительно в 850 году в Багдаде.

Важнейшим трудом Хорезми, давшим мощный толчок к развитию математики, стала книга «Китаб аль-джебр валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении»). Часть ее названия «аль-джебр» впоследствии трансформировалась в столь знакомое нам со школьной скамьи слово «алгебра». Даже само имя аль-Хорезми, претерпев изменения при переводе на латынь, тоже в конце концов стало всем знакомым термином «алгоритм». «Книга о восстановлении и противопоставлении» получила свое название от основных действий, которые автор использовал при решении математических уравнений. Трактат этот был написан по заказу аль-Мамуна, а выбор автора свидетельствует о том, что уже к моменту начала работы над книгой Хорезми смело можно было назвать одним из самых выдающихся ученых своего времени. Не удивительно, что книга имеет посвящение аль-Мамуну.

«Книга о восстановлении и противопоставлении» в основном посвящена решению уравнений первой и второй степени и применению математических законов на практике. Вот, к примеру, цитата, хорошо демонстрирующая практическую направленность книги: «Наиболее легкие и полезные навыки арифметики, например, то, что постоянно требуется человеку в делах наследования, получения наследства, раздела имущества, судебных разбирательствах, торговых отношениях или при измерении земельных участков, рытье каналов, геометрических вычислениях, а также в других случаях». Не удивительно, что неизвестное в уравнении автор называет «вещью», а его квадрат – «имуществом».

Вначале своей книги Хорезми дает определение натуральным числам и рассматривает десятичную систему исчисления: «Когда я поразмыслил над тем, что люди в основном пытаются найти в результате вычислений, я понял, что это всегда некое число. Также я отметил, что каждое число состоит из разрядов и может быть разделено на разряды. Более того, я обнаружил, что каждое число от 1 до 9 может быть выражено одной цифрой. Далее десятки удваиваются и утраиваются, также, как ранее единицы. Так появляются «двадцать», «тридцать» и так далее до ста. Затем, подобно единицам и десяткам, удваиваются и утраиваются сотни до тысячи;… и так далее до последнего предела исчисления».

Конечно, современному человеку, с раннего детства знакомому с десятичной системой, подобные объяснения могут показаться наивными, но во времена Хорезми далеко не для всех эта система была так очевидна. Кроме того, в данном случае ценность представляет не само объяснение, а обобщение, которое делает автор.

Далее Хорезми пишет о методах решения различных уравнений. Он приводит все уравнения к одной из шести стандартных форм:

– квадраты равны корням: ax 2 = bx ;

– квадраты равны числам: ax 2 = c ;

– корни равны числам: bx  = c ;

– квадраты и корни равны числам: x 2 + bx  = c ;

– квадраты и числа равны корням: x 2 + c  = bx ;

– корни и числа равны квадратам: x 2 = bx  + c .

Приведение уравнений автор предлагает осуществлять методами «аль-джебр» и «валь-мукабала» (восстановления и противопоставления). Под восстановлением он понимает перенесение вычитаемых членов из одной части уравнения в другую, под противопоставлением – сокращение в обеих частях уравнения равных членов.

Например, рассмотрим уравнение:

x 2 + 5x  – 7 = 9x .

После операции восстановления, уравнение примет вид:

x 2 + 5x  = 9x  + 7

Теперь, применив противопоставление, получаем:

x 2 = 4x  + 7.

Для уравнений вида x 2 + с  = bx  Хорезми приводит такое решение:

x  = b /2 +-√ ((b /2)2 – c ),

при этом он указывает, что решение невозможно, если c  > (b /2)2.

Конечно же, в наше время такие преобразования откровением не являются. Кроме того, на первый взгляд, человеку, хоть чуть-чуть знакомому с математикой, процедура восстановления вообще в ряде случаев покажется бессмысленной. Но тут нужно учитывать несколько обстоятельств. Нельзя забывать о том, что все свои вычисления Хорезми проводил в словесной форме, без использования математических знаков. Естественно, что это серьезно усложняло сам процесс вычислений и математических преобразований. Что же касается приема «восстановление», то его введение, скорее всего, продиктовано двумя факторами. Математики времен Хорезми не признавали существование отрицательных величин. «Восстановление» позволяло привести уравнение к такому виду, чтобы обе его части были положительными. Кроме того, с помощью этого приема уравнения можно было привести к одному из шести канонических видов, алгоритм решения которых заранее известен. Таким образом, можно сказать, что, предложив свои алгебраические методы решения уравнений, Хорезми смог свести большинство задач к некоей стандартной форме, абстрагируясь от конкретных условий.

Затем математик знакомит читателя с алгоритмами решения уравнений, приведенных к стандартному виду. Решать подобные задачи умели еще древнегреческие ученые. Но они делали это исключительно с помощью геометрических методов. Одна из основных заслуг Хорезми состоит в том, что он в своей работе впервые стал пользоваться исключительно алгебраическими методами, приводя геометрические решения уравнений только для доказательства правильности своих вычислений.

Далее Хорезми рассматривает возможность применения арифметических действий к алгебраическим выражениям. Например, он демонстрирует, каким образом следует умножать выражение типа: (a  + bx ) (c  + dx ).

Следующая часть «Книги о восстановлении и противопоставлении» содержит примеры использования методов, изложенных выше, для вычисления площадей и объемов геометрических фигур и тел.

Заключительный раздел книги еще раз подчеркивает ее практическую направленность. В нем рассматриваются сложные исламские законы наследования имущества. Правда, с точки же зрения математики этот раздел особого интереса не представляет, так как используемые в нем расчеты редко выходят за рамки линейных уравнений.

К числу достоинств «Книги о восстановлении и противопоставлении» следует отнести и более точное, чем у предшествующих авторов, определение числа я. Так Архимед для определения значения этой константы пользовался отношением: 22/7 (3,1429). Индусы использовали еще более грубое приближение: √10 (3,1623). Хорезми использует гораздо более точное значение числа π : 3,1416. Как видим, это значение в точности совпадает с истинным (3,141592), принимая во внимание округление до четырех знаков после запятой. Правда, исследователи полагают, что это значение получено не самим Хорезми, а взято им из какого-то более раннего, скорее всего, греческого источника.

Помимо «Китаб аль-джебр валь-мукабала» до наших дней дошли сведения еще о нескольких трудах Хорезми. Так, он написал трактат об индо-арабских цифрах. В этой работе Хорезми описывает индусскую систему исчисления, основанную на использовании цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Вероятно, именно Хорезми впервые использовал ноль в качестве обозначающего разряд символа. Оригинальный текст этой книги был утерян, и она дошла до нас в латинском переводе «Algoritmi de numéro Indorum». Именно благодаря этому переводу имя Хорезми и превратилось, как мы уже упоминали, в термин «алгоритм».

Как и большинство ученых тех лет, Хорезми не ограничивался только математикой. Он также был одним из самых известных астрономов своего времени. Им был составлен «Зидж ас-Синд-Хинд» (не следует путать этот труд с «Зиджем» Улугбека). Эта работа была основана на тексте, который еще в 770 году был преподнесен индийскими послами в числе подарков Багдадскому двору. Позднее данные этого текста были дополнены и обработаны с помощью собственных наблюдений Хорезми и его коллег. Также исследователи предполагают, что Хорезми был знаком с «Альмагестом» Птолемея, и это повлияло на форму, в которой ученый составил «Зидж». В книгу входят сведения о календарях, описания методов определения положения Солнца, Луны и планет, рассуждения о сферической астрономии, астрологические таблицы вычисления сроков затмений, таблицы синусов и тангенсов.

Также Хорезми принадлежит два трактата об астролябии, трактат о солнечных часах, работа об иудейском календаре, политическая история, в которую вошли гороскопы известных людей.

Особого внимания заслуживает книга Хорезми, посвященная географии. В ней указаны координаты 2402 географических объектов. При работе над этой книгой ученый, скорее всего, пользовался «Географией» Птолемея. Об этом свидетельствует то, что данные о европейских объектах, которые приводит Хорезми, совпадают с таковыми у Птолемея. При этом координаты тех топонимов, которые находились в более доступных для арабских исследователей местностях, указаны значительно точнее.

В наше время многие исследователи сомневаются в приоритетности тех или иных математических выкладок Хорезми. Действительно, не исключено, что в своих трудах арабский ученый использовал результаты, полученные некими предшественниками, работы которых до наших дней не дошли. Но это ни в коем случае не умаляет достоинств аль-Хорезми как ученого. Роль, которую сыграла «Книга о восстановлении и противопоставлении» для развития математики, просто невозможно переоценить. На протяжении нескольких веков книга эта оставалась основным руководством по алгебре для ученых Европы и Азии. Недаром такие известные математики, как Фибоначчи, Пачиоли, Тарталья, Кардано, Феррари в своих работах обращались к латинскому переводу основного труда Хорезми.