План лекции
1. Простейшие цепи при импульсном воздействии
2. Дифференцирующие и интегрирующие цепи
3. Примеры для закрепления материала
1. Простейшие цепи при импульсном воздействии
Рассмотрим отклик RC-цепи при подаче на ее вход последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой, равной Um. При этом будем полагать, что длительность паузы tп достаточна для того, чтобы цепь успевала релаксировать от предыдущего импульса, то есть, перейти в свободное состояние (см. рис. 12.1).
Рис. 12.1 Прохождение последовательности прямоугольных импульсов через RC-цепь
По 2-му закону Кирхгофа для момента прихода импульса запишем
В начале импульса (момент t = 0), конденсатор разряжен и напряжение на нем равно нулю. При этом ток через резистор имеет, согласно записанному выражению, максимальное значение, равное
Далее будет происходить процесс заряда конденсатора, при этом величина тока i(t) будет уменьшаться по закону
Закон изменения напряжения на конденсаторе во время заряда:
В этой формуле τ = RC – время нарастания фронта импульса.
Поэтому, к моменту окончания импульса t = tи, ток уменьшится до нуля, а напряжение на конденсаторе станет равным величине Um (см. рис. 12.2).
По окончании импульса (t = tи) напряжение на конденсаторе, согласно закону коммутации, останется равным значению Um и конденсатор начнет разряжаться через внутреннее сопротивление источника r и сопротивление цепи R по закону
Где τ’ = (R+r)C – время релаксации разряда конденсатора.
Ток в начальный момент времени резко возрастет до некоторой отрицательной величины, которую можно установить из 2-го закона Кирхгофа для момента времени сразу после прекращения импульса, когда напряжение на конденсаторе еще равно максимальному значению Um
Отметим, что момент t = +0 фактически означает t = tи+0, если отсчитывать его от момента начала импульса.
Перемена направления тока объясняется тем, что ток разряда конденсатора направлен противоположно току заряда, поскольку источником ЭДС в этом случае будет накопленное на конденсаторе напряжение.
Ток заряда тоже будет уменьшаться до нуля и цепь опять вернется к свободному состоянию. Закон изменения тока разряда выглядит так:
Графики зависимостей u(t) и i(t) приведены на рис. 12.2.
Рис. 12.2 Графики зависимостей тока и напряжения на конденсаторе при прохождении прямоугольного импульса RC-цепи; R = 100 Ом, С = 100 мкФ, r = 20 Ом, Um = 12 В.
Рассмотрим отклик RL-цепи при подаче на ее вход последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой, равной Um. При этом будем также полагать, что длительность паузы tп достаточна для того, чтобы цепь успевала релаксировать от предыдущего импульса, то есть, перейти в свободное состояние (см. рис. 12.3).
Рис. 12.3 Прохождение последовательности прямоугольных импульсов через RL-цепь
По 2-му закону Кирхгофа для момента прихода импульса запишем
В начале импульса (момент t = 0), ток в цепи отсутствует согласно 1-му закону коммутации. При этом на катушке возникает бросок напряжения, равный
Далее будет происходить процесс нарастания тока до максимально возможной величины, равной Um/R, при этом величина тока i(t) будет увеличиваться по закону
Закон изменения напряжения на катушке определим из 2-го закона Кирхгофа:
В этой формуле τ = RC – также время нарастания фронта импульса.
К моменту окончания импульса t = tи, ток в цепи увеличится до величины Um/R, а напряжение на катушке станет равным нулю (см. рис. 12.4).
По окончании импульса (t = tи) ток на индуктивности, согласно закону коммутации, останется равным значению Um/R и начнет уменьшаться по пути r и R по закону
Где τ’ = (R+r)C – время разряда тока цепи.
Напряжение на индуктивности в начальный момент времени резко возрастет до некоторой отрицательной величины, которую можно установить из 2-го закона Кирхгофа для момента времени сразу после прекращения импульса, когда величина тока еще равна значению Um/R:
Перемена направления напряжения на индуктивности объясняется тем, что направление тока в цепи должно сохраниться неизменным при «отключении» источника напряжения. А это означает, что в индуктивности возникает противо-ЭДС (направленная противоположно, по отношению к процессу заряда индуктивности).
Напряжение на индуктивности также будет уменьшаться до нуля и цепь опять вернется к свободному состоянию. Закон изменения напряжения выглядит так:
Графики зависимостей u(t) и i(t) приведены на рис. 12.4.
Рис. 12.4 Графики зависимостей тока и напряжения на индуктивности при прохождении прямоугольного импульса RL-цепи; R = 100 Ом, L = 0,03 Гн, r = 50 Ом, Um = 12 В.
Как видно, простейшие RС- и RL- цепи способны изменять форму поступающего на их вход импульсного сигнала, что может иметь важное значение при проектировании практических электронных устройств, в которых происходит преобразование импульсных сигналов, например, в импульсных источниках питания.
Если форма импульсов имеет другой вид (например, пилообразный), то все, приведенные рассуждения следует адаптировать к этой форме сигнала, что является непростой математической задачей. Однако наиболее распространенной в электронике является именно последовательность прямоугольных импульсов, поэтому приведенные формулы и зависимости являются азбукой импульсной техники.
2. Дифференцирующие и интегрирующие цепи
Рассмотрим цепь, приведенную на рис. 12.5.
Рис. 12.5 Дифференцирующая цепь
Подадим на нее напряжение произвольной формы uвх(t) и проанализирует форму выходного напряжения uвых(t).
По 2-му закону Кирхгофа получим:
Продифференцируем по времени обе части этого выражения:
Учитывая, что uвых(t) =Ri(t), получим:
Как говорилось ранее, величина τ = RC есть время релаксации цепи. Умножим на τ обе части этого выражения и поменяем местами его левую и правую части:
Если время релаксации цепи мало, так что можно считать
Тогда окончательное выражение примет вид:
Это равенство хорошо выполняется в цепях с малым временем релаксации. Если обратиться к рис. 12.2, то можно увидеть, что при устремлении времени релаксации к нулю, зависимость тока i(t) будет приближаться к производной импульса напряжения прямоугольной формы по времени.
Рассуждая аналогичным образом, можно, например, утверждать, что при подаче на такую цепь сигнала линейно возрастающего напряжения
Выходное напряжение будет иметь прямоугольную форму, поскольку
Дифференцирующие цепи могут быть применимы для аналоговых вычислений, например, для определения величины скорости изменения какого-либо процесса.
Рассмотрим цепь, приведенную на рис. 12.6.
Подадим на нее напряжение произвольной формы uвх(t) и проанализирует форму выходного напряжения uвых(t).
По 2-му закону Кирхгофа получим:
Рис. 12.6 Интегрирующая цепь
По аналогии с предыдущим выводом запишем:
Пусть постоянная времени τ настолько велика, что
Тогда получим:
Значит
Это означает, что если цепь обладает большим временем релаксации, то входное напряжение будет интегрироваться ею с тем большей точностью, чем дольше происходит процесс заряда конденсатора.
Следует понимать, что когда процесс заряда конденсатора закончится, то цепь не сможет выступать в качестве аналогового интегратора, поскольку напряжение на выходе станет равным максимально возможной для данной цепи величине (как правило, величине напряжения питания). Это следует учитывать при проектировании аналоговых интеграторов, например, «сбрасывать» напряжение, подключая конденсатор на небольшое время к какой-либо низкоомной цепи.
3. Примеры для закрепления материала
Пример 1
Для цепи, изображенной на рис.12.7, определить максимальные величины для выходного напряжения для входных импульсов прямоугольной формы с амплитудой Um = 15 В и следующими значениями резисторов: R1 = 100 Ом; R2 = 70 Ом; R3 = 100 Ом.
Решение
В момент прихода импульса напряжение на конденсаторе было равно нулю. Значит uвых(+0), равное выходному напряжению заряда Uвых зар можно определить по 2-му закону Кирхгофа:
Ток i(+0) определим по закону Ома:
Тогда uвых(+0)
Когда переходной процесс окончится, конденсатор станет обрывом и ток через него протекать не будет. При этом напряжение на нем будет такое же, как и на резисторе R2, через который будет протекать ток, равный
Значит, напряжение на конденсаторе будет равно
В момент окончания импульса выход источника будет закорочен на землю. Напряжение на конденсаторе в начальный момент времени будет равно найденному значению и он будет разряжаться по цепи, изображенной на рис. 12.8.
Тогда ток в ветви R1, R3 равен
Значит, начальное значение напряжения разряда будет равно
Очевидно, что величина Uвых разр будет иметь отрицательный знак, поскольку ток разряда направлен противоположно току заряда.
Ответ. Uвых зар = 7,5 В; Uвых разр = 0,195 В.
Пример 2
На RC- цепь с параметрами R = 1 кОм, С = 5 мкФ, подана последовательность прямоугольных импульсов. Определите величину пороговой длительности импульса tи, начиная с которой данная цепь может быть применена в качестве дифференцирующей. Определите соответствующую этой величине частоту входного сигнала.
Решение
Для того чтобы цепь могла работать как дифференцирующая, нужно, чтобы ее время релаксации было мало. Это означает, чтобы оно было намного меньше длительности импульса.
Потребуем соблюдения следующего условия:
Определим необходимую длительность импульса
Если принять длительность паузы равной длительности импульса, то частота такого сигнала равна
Пример 3
Найти зависимость напряжения на конденсаторе для RC- цепи при подаче на нее последовательности прямоугольных импульсов в случае большого значения времени релаксации цепи.
Решение
Если величина τ велика, то функцию
можно разложить в ряд Тейлора, ограничившись первым слагаемым
Тогда для заряда конденсатора
Значит, напряжение на конденсаторе растет линейно, что соответствует аналоговому интегрированию константы, поскольку
Пример 4
Как изменится величина τ, если величины R и C имеют неточности своих номиналов, равные εR и εC?
Запишем выражение для величины τ с учетом неточности значений R и C
Пренебрегая малым слагаемым εRεC, получим
Дата: 2019-03-05, просмотров: 244.
