5.1. Вихідними даними, необхідними для виконання даної роботи, є таблиця і гістограма емпіричної імовірності, що наведені у звіті до лабораторної роботи № 4.
5.2. За зовнішнім виглядом гістограми емпіричної ймовірності, використовуючи графіки теоретичних густин розподілу ймовірностей (рис. А.1 у Додатку А), визначити, якому теоретичному закону відповідає зазначена гістограма.
5.3. Використовуючи метод моментів, визначити значення параметрів передбачуваного розподілу.
5.3.1. В якості початкового моменту першого порядку і центрального моменту другого порядку приймаються, відповідно, математичне сподівання і дисперсія одномірної випадкової величини, які обчислені при виконанні лабораторної роботи № 4.
5.3.2. Скласти систему рівнянь, що зв'язує невідомі параметри з моментами. При складанні використовуються співвідношення, що наведені в таблиці Б1 Додатку Б. Кількість рівнянь має відповідати кількості параметрів.
5.3.3. Вирішити отриману систему рівнянь щодо невідомих параметрів. Отримані значення занести у відповідні елементи таблиці звіту лабораторної роботи.
5.4. Визначити значення параметрів передбачуваного розподілу, для чого необхідно, скориставшись даними таблиці звіту по лабораторній роботі № 4, заповнити стовпці 1-3 таблиці звіту по лабораторній роботі № 5.
5.5. Для середини кожного інтервалу групування (стовпець 2) обчислити теоретичну щільність розподілу ймовірності 
. Відповідне співвідношення, що зв'язує щільність розподілу ймовірності зі значенням випадкової величини 
, наведено в таблиці Б.1. Результати обчислень розмістити у стовпці 8 таблиці звіту лабораторної роботи № 5. Обчислення зробити для першого осередку даного стовпця, інші осередки заповнюються шляхом "автозаповнення" правого нижнього кутка заповненої комірки.
5.6. Для кожного інтервалу групування обчислити теоретичну ймовірність 
.
Результати розмістити у стовпці 9 таблиці звіту лабораторної роботи № 5.
5.7. Стовпці 10-11 таблиці звіту лабораторної роботи № 5 заповнюються відповідно до співвідношень, що наведені в шапці даних стовпців.
5.8. Розрахункове значення критерію Пірсона 
обчислюється шляхом підсумовування вмісту стовпця 11 таблиці звіту лабораторної роботи № 5.
5.8.1. Виділити маніпулятором «миша» осередку, вміст яких необхідно підсумувати.
5.8.2. Натиснути ліву кнопку маніпулятора «миша» один раз на піктограмі Автосума. При цьому безпосередньо під виділеною областю з'явиться результат підсумовування.
5.9. Обчисливши число ступенів свободи k та визначившись з величиною рівня значущості α, визначити табличне значення критерію Пірсона 
табл. [5.5.3-5.5.4] записати його у відповідну клітинку звіту лабораторної роботи №5.
5.10. Зробити висновок про належність оброблюваної випадкової величини передбачуваного теоретичного розподілу.
5.11. Повторити послідовність пп.2-10 ще для 1-2 теоретичних розподілів. На підставі отриманих розрахункових значень критерію Пірсона зробити остаточний висновок.
Приклад виконання лабораторної роботи в Excel наведено у додатку Г.
Зміст звіту
5.3.1 Короткі теоретичні відомості по темі лабораторної роботи.
5.3.2 Розрахунок параметрів в Excel за формулами, що наведені в теоретичному матеріалі та в прикладі.
5.3.3 Роздруківку електронної таблиці Excel, що виконана для варіанту за завданням (приклад наведено у додатку Г).
5.3.4 Графік залежності відповідно до прикладу.
5.4 Контрольні питання
5.4.1 Для чого проводиться статистична перевірка гіпотез про закон розподілу генеральної сукупності?
5.4.2 Які Ви знаєте критерії згоди і для чого вони застосовуються?
5.4.3 Яке призначення критерію хі-квадрат Пірсона і для чого застосовується?
5.4.4 Яке призначення критерію Романовського і для чого застосовується?
5.4.5 Які теоретичні закони розподілу Ви знаєте? Охарактеризуйте графіки їх теоретичних густин розподілу ймовірностей.
Література
5.5.1 Вентцель Е.С.. Теория вероятностей. М: Наука., 1969.- 576 с.
5.5.2 Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества. − М.: Изд-во «Мир», 1970.- 368 с.
5.5.3 Быкадоров Р.В. Критерии согласия при статистических исследованиях процесса ткачества. .ИГТА, 2002 – 28 с.
5.5.4 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. – 8-е издание, М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №6
Тема: Моделювання дискретних і безперервних випадкових величин.
Мета - генерування величин із заданим законом розподілу, яка відображає випадкові фактори, що впливають на поведінку складних систем
Теоретичні відомості
В процесі аналізу і проектування імітаційних моделей стохастичних систем виникає необхідність завдання різних випадкових впливів або імітування стохастичних процесів. Подібні ситуації зумовлюють необхідність програмної генерації випадкових чисел з деяким законом розподілу. Нехай потрібно отримати (змоделювати) реалізацію випадкової величини X з щільністю розподілу 
. Дане завдання вирішується шляхом моделювання випадкової величини 
, рівномірно розподіленої на інтервалі [0; 1), і перетворення послідовності випадкових чисел 
в послідовність 
. У загальному випадку перетворення можна реалізувати за допомогою деякої функції
X=ψ(Ξ), (6.1)
що зв'язує випадкові числа з рівномірним розподілом з випадковими числами з заданим законом розподілу. Перетворення (6.1) може бути виконано різними методами.
6.1.1 Метод зворотних функцій.
Нехай потрібно отримати значення випадкової величини 
, розподіленої в інтервалі 
з щільністю ймовірності 
.
Стандартний метод моделювання заснований на тому, що інтегральна функція розподілу 
будь якої безперервної випадкової величини рівномірно розподілена в інтервалі 
, тобто для будь випадкової величини з щільністю розподілу випадкова величина рівномірно розподілена на інтервалі 
.
Тоді випадкову величину з довільною густиною розподілу (див. рис. 6.1) можна розрахувати за наступним алгоритмом:
1. Необхідно згенерувати випадкову величину 
(значення випадкової величини ), рівномірно розподілену в інтервалі .
Рисунок 6.1 - Графічне зображення методу зворотних функцій
2. Прирівняти генероване випадкове число відомої функції розподілу 
і отримати рівняння
.
3. Вирішуючи рівняння 
, знаходимо шукане значення .
Такий спосіб отримання випадкових величин називається методом зворотних функцій.
6.1.2 Моделювання неперервних величин.
Стандартний метод моделювання (метод зворотних функцій) заснований на співвідношенні функції розподілу 
неперервної випадкової величини , щільності розподілу ймовірності і рівномірно розподілених 
випадкових чисел r формулою
.
Тому, отримання випадкової величини полягає в обчисленні виразу 
- функції, зворотної по відношенню до шляхом інтегрування, де це можливо, щільності , рис. 6.1.
Для показового розподілу з щільністю
Зворотні функції безперервних випадкових величин основних розподілів наведені в таблиці 6.1.
6.1.3 Методи моделювання дискретних величин.
Для моделювання дискретної випадкової величини Х, при довільному законі розподілу (таблиця 6.1) її можливі значення 
розташовують у порядку зменшення відповідних ймовірностей, тобто 
, причому, як повна група подій. В результаті порівняння випадкового числа з довжинами сусідніх відрізків, наприклад 
2<ξ≤ , формулюється висновок про те, яке значення прийняла дискретна випадкова величина, в нашому випадку 
. Якщо 
- випадок дискретного рівномірного розподілу, то 
, де i = 1 + ЦЧ ( 
), Цч - ціла частина добутку .
Моделювання розподілу Пуассона (закон рідких подій) з параметром 
ґрунтується на твердженні, що величини 
незалежні і мають експоненційний розподіл з математичним очікуванням, рівним 1. При цьому ціле невід'ємне число 
підпорядковується розподілу Пуассона, якщо
, де 
чи 
.
Біномінальний розподіл з параметрами - числом 
-незалежних випробувань і незмінною ймовірністю 
моделюється наступним чином: формується 
-послідовностей з 
-незалежних випробувань випадкових чисел 
, які порівнюють із заданою вірогідністю . Число ж випадків виконання умови 
в кожному випробуванні і приймають за послідовність випадкових величин 
розподілених по біномінальному закону.
Таблиця 6.1-Алгорітми моделювання величин
| № | Найменування розподілу, (параметри) |
Алгоритми моделювання величини X | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | Ряд розподілу дискретної величини X (Pi) |
| ||
| 2 | Пуассона, (а) |
| ||
| 3 | Біноминальне (Бернуллі), (n,P) | 
| 
| 
|
|
| 
| 
| ||
| 4 | Рівномірне, (a,b) |
| ||
| 5 | Показове, (  ) [експоненційне]
|
| ||
| 6 | Нормальне, (m,  ) [Гаусса]
|
| ||
| 7 | Логарифмічно нормальне, (g,  )
|
| ||
| 8 | Гамма, (  )
|
| ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 9 |  , (k) [хі-квадрат]
|
| ||
| 10 |  , (k) [хи]
|
| ||
| 11 | Релея, ( )
|
| ||
| 12 | Стьюдента, (k) |
| ||
| 13 | Вейбулла, (a,b) |
| ||
a – ціле
6.2. Порядок виконання роботи:
6.2.1 Налаштувати табличний процесор Excel для роботи з даними. Для цього переконатися в наявності вкладки Аналіз даних у списку спадаючого меню кнопки рядка меню Сервіс. В іншому випадку зробити підключення Пакета аналізу. Для цього встановити відповідний прапорець у вікні Списку надбудов, що відкривається після вибору вкладки Надбудови кнопки рядка меню Сервіс.
6.2.2 Відповідно до виданого завданням (файл лаб_6.xls) помістити в осередки значення параметрів безперервних і дискретних розподілів. У вихідних даних вибрати діапазон відповідно для рівномірного розподілу (0, 1) і для нормального розподілу (-3, 3) розподілення випадкових чисел. Для цього встановити курсор у відповідній комірці і в рядку меню Сервіс вибрати вкладку Аналіз даних, інструмент аналізу - Генерація випадкових чисел.
6.2.3 У вікні Генерація випадкових чисел в поле з назвою Число змінних ввести - 1; в поле з назвою Кількість випадкових чисел - 40; в поле з назвою Розподіл - Рівномірний (Нормальне). В підвікно з назвою Параметри для Рівномірного - між 0 і 1 (для Нормального - середнє 0, стандартне відхилення 1); в поле з назвою Випадкове розсіювання - (будь-яке число в інтервалі 1 ... 32767); в підвікно з назвою Параметри виводу визначити початкову адресу виведення даних. Після закінчення вибору параметрів полів - натиснути клавішу ОК.
6.2.4 Аналогічно пункту 2.3 виконати моделювання для розподілів - Рівномірного, Нормального, Пуассона, біноміального. Для розподілів - експоненційного, Лог-нормального, Релея і Вейбулла, використовуючи алгоритми моделювання (таблиця 6.1) виконати програмування осередків. Далі, використовуючи метод протягування заповнити стовпці.
6.2.5 При моделюванні дискретного розподілу слід враховувати, що воно характеризується значенням і відповідним йому значенням вірогідності (задати самостійно). Діапазон повинен складатися з двох стовпців: лівого, що містить число і правого, що містить ймовірність появи цього числа. Сума ймовірностей повинна дорівнювати 1. Результати моделювання дискретного розподілу помістити у відповідний стовпець. Для цього у вікні Генерація випадкових чисел в поле з назвою Число змінних ввести - 1; в поле з назвою Число випадкових чисел - 40; в поле з назвою Розподіл - Дискретне. В під вікно (обкладинку) з назвою Параметри для дискретного розподілу виберіть вхідний інтервал значень ймовірностей, який відповідає стовпцях 
і 
(провести спільну вибірку даних стовпців).
6.2.6 Запрограмувати обчислення середнього арифметичного і стандартного відхилення за стовпцями.
6.2.7 Для кожного змодельованого масиву побудувати гістограми розподілу частот.
6.2.8 Оформити звіт по лабораторній роботі. У складі звіту до лабораторної роботи повинні бути присутніми: таблиця результатів моделювання заданих розподілів (роздруківка випадкових величин для 5 табличних рядків), розрахункові значення середніх арифметичного і квадратичного відхилення, гістограми розподілу частот, висновки про виконану роботу.
Зміст звіту
6.3.1 Короткі теоретичні відомості по темі лабораторної роботи.
6.3.2 Роздруківка електронної таблиці Excel, виконана для свого варіанту (приклад показано у додатку Д).
6.3.3 Гістограми змодельованих розподілів із зазначенням виду.
6.4. Варіанти завдання для моделювання
Вихідні дані для моделювання випадкових величин знаходяться у файлі завдання до лабораторної роботи і видаються викладачем під час занять.
6.5. контрольні питання
6.5.1 Які способи моделювання випадкових величин ви знаєте?
6.5.2 У чому полягає сутність методу зворотних функцій?
5.3 Наведіть і охарактеризуйте метод моделювання безперервних величин.
6.5.4 Наведіть і охарактеризуйте метод моделювання дискретних величин.
6.5.5 Які закони розподілу неперервних випадкових величин ви знаєте?
5.6 Які закони розподілу дискретних випадкових величин ви знаєте?
6.5.7 Які алгоритми моделювання дискретних і безперервних величин ви знаєте, приведіть та охарактеризуйте кожен з них
Література
6.6.1 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977. – 366 с.
6.6.2 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979. – 334 с.
Дата: 2019-03-05, просмотров: 337.
