Необходимые сведения
· Для вычисления интеграла от функции 
по кривой 
необходимо
выбрать параметризацию кривой 
, 
, после чего криволинейный интеграл сводится к определённому интегралу в соответствии с формулой:
· Интегральная формула Коши для функции:
· Интегральная формула Коши для производной:
· При интегрировании многозначной функции необходимо выделять её однозначную ветвь.
Задачи для решения в аудитории
1.Вычислить интеграл от функции 
по кривой 
.
2.Вычислить интеграл от функции 
по кривой .
3.Вычислить интеграл от функции 
по окружности 
, ориентированной положительно.
4.Вычислить интеграл от функции 
по следующим кривым:
а) : 
б) : 
в) : 
г) : отрезок, соединяющий начало координат с точкой 
5.Вычислить интеграл по кривой : 
от следующих функций:
а) 
б) 
в) 
г) 
6.С помощью интегральной формулы Коши вычислить интегралы (все окружности обходятся против часовой стрелки):
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
г) 
Какой другой способ решения Задания 6 можно предложить?
7.С помощью интегральной формулы Коши для производной вычислить интегралы (все окружности обходятся против часовой стрелки):
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
Какой другой способ решения Задания 7 можно предложить?
8.Вычислить интегралы по заданным контурам (обратить внимание на многозначность подынтегральной функции):
а) 
б) 
в) 
Домашнее задание
1.Ефимов-Поспелов, том 3, №№ 13.230-13.242, 13.243, 13.245, 13.247, 13.248, 13.249-13.256, двумя способами №№13.257-13.271
Занятие 5
Комплексные ряды
Необходимые сведения
1. Функция, регулярная в круге 
, раскладывается в ряд Тейлора:
2. Функция, регулярная в кольце 
, раскладывается в ряд Лорана:
= 
+ 
3. Для разложения функций в степенные ряды необходимо повторить разложение основных элементарных функций и формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (см. занятие 7 за 3 семестр)
Задания для решения в аудитории
1.Разложить функции в ряд по степеням z всеми возможными способами , указать области сходимости полученных рядов, изобразить их на плоскости С:
; 
; 
; 
2.Разложить функции в ряд по степеням 
, определить области сходимости полученных рядов, изобразить их на плоскости С:
; 
; 
; 
, 
3.Найти области сходимости рядов, изобразить их на плоскости С:
, 
4.Найти все разложения функций в ряды Лорана по степеням 
, установить области сходимости полученных разложений, сделать рисунок:
, 
; 
, 
5.Найти разложение функции в ряд по степеням в указанной области:
; 
Домашнее задание
Ефимов-Поспелов, том 3:
№№13.226 – 13.229,
12.179, 12.181, 12.187 - 12.189.
12.217, 12.221, 12.226, 12.236, 12.241, 12.348, 12.350, 12.351.
12.352 – 12.375 (полезно сделать все, обязательно: любые 10 штук)
Занятие 6
Изолированные особые точки
Необходимые сведения
1. Точка 
называется нулём функции 
кратности 
, если 
2. Точка является нулём функции кратности 
функция
представима в виде 
, где 
3. Точка, в которой функция не регулярна, называется особой точкой.
4. Если существует такая окрестность особой точки, в которой нет других особых точек, то эта особенность называется изолированной.
5. Изолированные особые точки можно разделить на три типа (см. таблицу)
Таблица: «Классификация особых точек»
| № |
Тип особой точки 
| Определение с помощью предела | Определение с помощью главной части ряда Лорана |
| 1 | Устранимая особая точка |
| Главная часть ряда Лорана отсутствует |
| 2 |
Полюс порядка 
|
|
В главной части ряда Лорана конечное число слагаемых, максимальная отрицательная степень = 
|
| 3 | Существенная особенность |
 
ни конечного, ни бесконечного
| В главной части ряда Лорана бесконечное число слагаемых |
6. Полюс первого порядка по-другому называют простым полюсом.
7. Связь между нулями и полюсами: если точка 
является нулём функции 
кратности 
, то эта точка является полюсом порядка для функции 
Задания для решения в аудитории
1. Определить все нули и их порядок для функций:
(а) 
(б) 
(в) 
(г) 
2. Найти все конечные особые точки, указать их характер, в случае полюса – его порядок , для функций:
(а) 
(б) 
(в) 
(г) 
(д) 
(е) 
3. Определить характер особенности в точке , разложив функцию в ряд Лорана в окрестности этой точки и выделив главную часть полученного ряда:
(а) 
; 
; 
; 
; 
; 
(б) 
( 
); 
( 
); 
; 
; 
(в) 
; 
; 
; 
; 
4. Исследовать поведение функции на бесконечности:
(а) 
(б) 
(в) 
Домашнее задание
Определить все нули и их порядок для функций:
(а) 
(б) 
(в) 
(г) 
Ефимов-Поспелов, том 3: № № 12.382 – 12.407
Занятие 7
Вычеты
Применение вычетов
Необходимые сведения
1. Определение вычета: 
2. Отыскание вычета по ряду Лорана: 
– коэффициент ряда Лорана в окрестности особой точки
3. Вычисление вычета в простом полюсе:
(а) 
(б) Если 
, тогда 
4. Вычисление вычета в кратном полюсе:
5. Основная теорема о вычетах: Если функция 
регулярна в ограниченной замкнутой области D за исключением конечного числа изолированных особых точек 
(k=1,…n), то интеграл по границе 
этой области вычисляется по формуле: 
6. Вторая теорема о вычетах: сумма вычетов по всем особым точкам, считая бесконечно удалённую, равна нулю.
7. Алгоритм вычисления интеграла по замкнутому контуру с помощью вычетов:
· Контур интегрирования изобразить на плоскости
· Найти все особые точки подынтегральной функции (изобразить на плоскости)
· Отметить те точки , которые попадают внутрь контура интегрирования
· Определить их тип и найти вычеты в этих точках
· Просуммировать полученные вычеты и воспользоваться основной теоремой о вычетах
Задачи для решения в аудитории
1.Найти вычеты функций в особых конечных точках:
; 
; 
;
; 
; 
;
: 
; 
; 
2.Определить характер бесконечно удалённой точки и найти вычет:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
; 
.
3.Вычислить интеграл:
a) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
Домашнее задание
1. Ефимов, Поспелов, т.3, №№ 12.408 – 12.449
Занятие 8
Дата: 2019-03-05, просмотров: 184.
