Занятие № 1
Комплексные числа.
Необходимые сведения.
I. Комплексным числом 
называется пара действительных чисел 
. Для комплексных чисел определено понятие равенства, сложения, умножения. Комплексные числа не сравниваются! Два комплексных числа 
и 
равны тогда и только тогда, когда 
. Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число 
. Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число 
. Комплексное число (0,1) называется мнимой единицей и обозначается символом 
. Это число обладает свойством 
. Обычно комплексное число записывают в форме z= x+ iy. Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа, причём 
называется действительной частью и обозначается символом 
, а 
называется мнимой частью и обозначается символом 
. Комплексное число 
называется сопряжённым комплексному числу 
и обозначается символом 
.Действительное положительное число 
называется модулем комплексного числа и обозначается символом 
.
II. Комплексные числа можно изображать на плоскости.Каждое число z= x+ iy отождествляется с точкой плоскости с координатами . Действительные числа отмечаются на оси абсцисс, поэтому её называют действительной осью, а чисто мнимые числа отмечаются на оси ординат, поэтому её называют мнимой осью. Комплексное число 
изображается также вектором с началом в точке 0 и концом в точке . Модуль комплексного числа имеет смысл длины этого вектора. Угол наклона вектора к положительному направлению действительной оси называется главным значением аргумента, он обозначается символом 
III. Любое комплексное число можно записать в виде 
, где 
- модуль, а 
– аргумент комплексного числа. Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Комплексные числа 
и 
можно обозначить символами 
и 
соответственно. Комбинируя эти формулы, можно получить формулы Эйлера:
, 
,
Используя сокращённое обозначение, можно записать комплексное число в виде: 
Такая форма называется показательной формой записи комплексного числа.
IV. Уравнение 
с натуральным 
имеет ровно корней ( с учётом кратности). Если
положить 
, то корни вычисляются по формуле:
, 
, являющейся аналогом формулы Муавра для
возведения в степень:
ТФКП 2 курс 4-ый семестр.
Задачи для решения в аудитории и домашнее задание.
- Проделать алгебраические действия с комплексными числами:
а) 
б) 
в) 
- Вычислить:
, если 
- Доказать формулу деления двух комплексных чисел
и 
:
- Вычислить
: 
, 
, 
, 
, 
, 
. - Вычислить :
, 
, 
, 
, 
- Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел:
- Найти комплексно-сопряжённое число ко всем комплексным числам из задачи 6.
- Найти модуль всех комплексным числам из задачи 6.
- Найти модуль следующих комплексных чисел ( - действительное число):
; ; 
; 
; 
;
.
- Используя алгебраическую форму комплексного числа, доказать формулы:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
з) 
- Доказать формулы:
а) 
б) 
в) 
г) 
.
- Решить уравнения относительно z:
а) 
б) 
в) 
г) 
13. Указать на комплексной плоскости следующие числа, отметить их модуль и аргумент:
14. Нарисовать множества точек комплексной плоскости, которые удовлетворяют следующим
условиям ( 
- комплексное число, 
- действительные числа)
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
з) 
и) 
к) 
л) 
м) 
Регулярные (аналитические) функции
Необходимые сведения
1. Формулы для вычисления значений функций:
(1)
(2) 
(3)
(4) 
(5)
(6)
2. Условия Коши – Римана для функции
: (7)
В декартовых координатах В полярных координатах
(8) 
(9)
Задания для решения в аудитории
1.Вычислить: 
2.Выделить действительную и мнимую части следующих функций:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, д) 
, е) 
, ж) 
3. Выделить действительную и мнимую части следующих функций:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, д) 
, е) 
4. Выделить действительную и мнимую части следующих функций:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, д) 
, е) 
, ж) 
5.Доказать равенства:
а) 
, б) 
, в) 
6.Вычислить:
а) 
, б) 
, в) 
7.Найти все точки, в которых обращаются в нуль функции:
а) , б) , в) , г) , д) 
е) 
8.Найти все решения уравнений, изобразить решения на комплексной плоскости:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
9.Найти значение модуля и главное значение аргумента заданных функций в указанных точках
а) 
б) 
10.Проверить выполнение условий Коши – Римана :
а) , б) 
, в) , г) , д) , е) , ж) 
Домашнее задание
Ефимов-Поспелов, том 3: №№13.1 – 13.29
(Из них обязательно №№13.10,13.18, 13.23, 13.29),
№№13.35 – 13.41 (обязательно №№13.36, 13.39),
№№ 13.42 – 13.51 (обязательно №№13.44, 13.51)
Доказать равенства
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, д) 
Вычислить:
а) 
, б) 
, в) 
Доказать неравенства:
а) 
, б) 
Найти все решения уравнений, изобразить решения на комплексной плоскости:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
7.Проверить выполнение условий Коши – Римана :
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, д) , е) , ж) 
ЗАНЯТИЕ №2
Связь регулярных и гармонических функций.
Необходимые сведения
I. Утв.1. Если функция 
регулярна, то её действительная 
и мнимая 
части – функции гармонические, т.е. 
Утв.2. Если две функции 
– гармонические и для них выполнены условия Коши – Римана:
в декартовых координатах или в полярных координатах
(1) (2),
то эти две функции называются гармонически-сопряжёнными и они определяют регулярную функцию 
с точностью до комплексной константы.
Таким образом, зная только действительную или только мнимую часть регулярной функции, можно восстановить эту функцию.
II. Если функция регулярна и 
- её производная в точке 
, то
определяет коэффициент искажения длин в точке 
, а 
определяет угол поворота векторов в этой точке.
Если 
, то происходит растяжение
Если 
, то происходит сжатие
Если 
, то поворот против часовой стрелки
Если 
, то поворот по часовой стрелке
Задания для решения в аудитории
1.Восстановить регулярную функцию по её действительной части 
или по её мнимой части 
:
1.) 
2.) 
3.) 
4.) 
5.) 
, 
6.) 
7.) 
2.Существует ли регулярная функция , для которой 
?
3.Найти угол поворота лучей и коэффициент искажения длин
1)в точке 
под действием отображения 
2)в точках 
под действием отображения 
.
4.Какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается, если отображение осуществляется функцией:
1.) 
?
2.) ?
3.) 
?
4.) 
?
5.) 
?
6.) 
?
(Изобразить на чертеже)
Домашнее задание
Ефимов-Поспелов, том 3: №№13.131 – 13.137, 13.138-13.143, 13.144-13.147 (изобразить полученные множества на комплексной плоскости), 13.148-13.155.
Конформные отображения.
Необходимые сведения
1.Отображение, осуществляемое линейной функцией 
, представляет собой композицию
· растяжения ( в 
раз),
· поворота (на угол 
),
· сдвига (параллельного переноса на 
)
2.При отображении, осуществляемом степенной функцией 
,
· длины «возводятся в степень 
»,
· углы «раскрываются в раз»
3.При отображении, осуществляемом показательной функцией 
· прямые, параллельные действительной оси ( 
), переходят в лучи ( 
)
· отрезок прямой, параллельной мнимой оси ( 
), переходит в дугу окружности радиуса 
Таким образом, прямоугольник переходит в сектор кольца.
4. При отображении, осуществляемом главным значением логарифмической функции 
, происходит обратное, то есть
· окружности с центром в нуле ( 
) переходят в прямые 
· лучи, выходящие из нуля ( 
), переходят в прямые 
Отображение, осуществляемое сложной функцией, удобно рассматривать как композицию нескольких последовательных отображений.
Задания для решения в аудитории
Изобразить на комплексной плоскости множество 
. Определить множество 
,на которое отобразится под действием отображения 
. Изобразить на комплексной плоскости множество 
, описать его с помощью неравенств:
1) 
а) 
, б) 
, в) 
2) 
а) 
, б) 
, в) 
3) 
а) , б) 
, в) 
4) 
а) 
, б) 
, в) 
Домашнее задание
Ефимов-Поспелов, том 3: №№13.211 – 13.220.
Подготовиться к контрольной работе №1. Возможные постановки задач:
1)Изобразить ГМТ на плоскости.
2)Вычислить значение функции в данной точке.
3)Решить уравнение и изобразить его решения на компл. плоскости.
4)Проверить условия Коши-Римана для данной функции.
5)Восстановить регулярную функцию по её действ. или мним. части.
6)Найти образ данной области при заданном отображении
Занятие 3
Контрольная работа
Первая контрольная работа по ТФКП ориентирована на проверку знаний по темам занятий №№ 1 – 4
Примерные задания контрольной работы:
1. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции: 
2. Вычислить 
3. Решить уравнение и изобразить решения на комплексной плоскости: 
4. Восстановить регулярную функцию по её действительной части 
при условии: 
5. Найти образ множества 
при отображении 
. Сделать соответствующие чертежи.
Для подготовки к контрольной работе рекомендуется решать задачи различных вариантов из Типового расчёта (№№1-4), а также задачи, указанные в листочках №№ 1 – 4
Результат контрольной работы (оценка) влияет на зачёт по Типовому расчёту, а он, в свою очередь, на допуск к экзамену.
Занятие 4
Необходимые сведения
· Для вычисления интеграла от функции 
по кривой 
необходимо
выбрать параметризацию кривой 
, 
, после чего криволинейный интеграл сводится к определённому интегралу в соответствии с формулой:
· Интегральная формула Коши для функции:
· Интегральная формула Коши для производной:
· При интегрировании многозначной функции необходимо выделять её однозначную ветвь.
Занятие 5
Комплексные ряды
Необходимые сведения
1. Функция, регулярная в круге 
, раскладывается в ряд Тейлора:
2. Функция, регулярная в кольце 
, раскладывается в ряд Лорана:
= 
+ 
3. Для разложения функций в степенные ряды необходимо повторить разложение основных элементарных функций и формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (см. занятие 7 за 3 семестр)
Задания для решения в аудитории
1.Разложить функции в ряд по степеням z всеми возможными способами , указать области сходимости полученных рядов, изобразить их на плоскости С:
; 
; 
; 
2.Разложить функции в ряд по степеням 
, определить области сходимости полученных рядов, изобразить их на плоскости С:
; 
; 
; 
, 
3.Найти области сходимости рядов, изобразить их на плоскости С:
, 
4.Найти все разложения функций в ряды Лорана по степеням 
, установить области сходимости полученных разложений, сделать рисунок:
, 
; 
, 
5.Найти разложение функции в ряд по степеням в указанной области:
; 
Домашнее задание
Ефимов-Поспелов, том 3:
№№13.226 – 13.229,
12.179, 12.181, 12.187 - 12.189.
12.217, 12.221, 12.226, 12.236, 12.241, 12.348, 12.350, 12.351.
12.352 – 12.375 (полезно сделать все, обязательно: любые 10 штук)
Занятие 6
Изолированные особые точки
Необходимые сведения
1. Точка 
называется нулём функции 
кратности 
, если 
2. Точка является нулём функции кратности 
функция
представима в виде 
, где 
3. Точка, в которой функция не регулярна, называется особой точкой.
4. Если существует такая окрестность особой точки, в которой нет других особых точек, то эта особенность называется изолированной.
5. Изолированные особые точки можно разделить на три типа (см. таблицу)
Таблица: «Классификация особых точек»
| № |
Тип особой точки 
| Определение с помощью предела | Определение с помощью главной части ряда Лорана |
| 1 | Устранимая особая точка |
| Главная часть ряда Лорана отсутствует |
| 2 |
Полюс порядка 
|
|
В главной части ряда Лорана конечное число слагаемых, максимальная отрицательная степень = 
|
| 3 | Существенная особенность |
 
ни конечного, ни бесконечного
| В главной части ряда Лорана бесконечное число слагаемых |
6. Полюс первого порядка по-другому называют простым полюсом.
7. Связь между нулями и полюсами: если точка 
является нулём функции 
кратности 
, то эта точка является полюсом порядка для функции 
Задания для решения в аудитории
1. Определить все нули и их порядок для функций:
(а) 
(б) 
(в) 
(г) 
2. Найти все конечные особые точки, указать их характер, в случае полюса – его порядок , для функций:
(а) 
(б) 
(в) 
(г) 
(д) 
(е) 
3. Определить характер особенности в точке , разложив функцию в ряд Лорана в окрестности этой точки и выделив главную часть полученного ряда:
(а) 
; 
; 
; 
; 
; 
(б) 
( 
); 
( 
); 
; 
; 
(в) 
; 
; 
; 
; 
4. Исследовать поведение функции на бесконечности:
(а) 
(б) 
(в) 
Домашнее задание
Определить все нули и их порядок для функций:
(а) 
(б) 
(в) 
(г) 
Ефимов-Поспелов, том 3: № № 12.382 – 12.407
Занятие 7
Вычеты
Применение вычетов
Необходимые сведения
1. Определение вычета: 
2. Отыскание вычета по ряду Лорана: 
– коэффициент ряда Лорана в окрестности особой точки
3. Вычисление вычета в простом полюсе:
(а) 
(б) Если 
, тогда 
4. Вычисление вычета в кратном полюсе:
5. Основная теорема о вычетах: Если функция 
регулярна в ограниченной замкнутой области D за исключением конечного числа изолированных особых точек 
(k=1,…n), то интеграл по границе 
этой области вычисляется по формуле: 
6. Вторая теорема о вычетах: сумма вычетов по всем особым точкам, считая бесконечно удалённую, равна нулю.
7. Алгоритм вычисления интеграла по замкнутому контуру с помощью вычетов:
· Контур интегрирования изобразить на плоскости
· Найти все особые точки подынтегральной функции (изобразить на плоскости)
· Отметить те точки , которые попадают внутрь контура интегрирования
· Определить их тип и найти вычеты в этих точках
· Просуммировать полученные вычеты и воспользоваться основной теоремой о вычетах
Задачи для решения в аудитории
1.Найти вычеты функций в особых конечных точках:
; 
; 
;
; 
; 
;
: 
; 
; 
2.Определить характер бесконечно удалённой точки и найти вычет:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
; 
.
3.Вычислить интеграл:
a) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
Домашнее задание
1. Ефимов, Поспелов, т.3, №№ 12.408 – 12.449
Занятие 8
Необходимые сведения
1. Интегралы вида
(1)
заменой 
преобразуются в контурный интеграл по единичной окружности.
2. Интегралы вида
, (2)
если 
, а подынтегральная функция регулярна в верхней полуплоскости 
за исключением конечного числа особых точек, можно вычислить с помощью теоремы о вычетах:
,
где сумма вычетов берётся по всем особенностям, лежащим в верхней полуплоскости.
3. Интегралы вида
, (3)
если 
, 
, подынтегральная функция регулярна в верхней полуплоскости кроме конечного числа особенностей, не имеет особенностей на действительной оси, можно вычислить с помощью теоремы о вычетах:
,
где сумма вычетов берётся по всем особенностям, лежащим в верхней полуплоскости.
4. Интегралы вида 
, 
являются соответственно действительной и мнимой частями интеграла(3)
Занятие 9
Прием типового расчета
Занятие № 1
Комплексные числа.
Необходимые сведения.
I. Комплексным числом называется пара действительных чисел . Для комплексных чисел определено понятие равенства, сложения, умножения. Комплексные числа не сравниваются! Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда . Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число . Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число . Комплексное число (0,1) называется мнимой единицей и обозначается символом . Это число обладает свойством . Обычно комплексное число записывают в форме z= x+ iy. Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа, причём называется действительной частью и обозначается символом , а называется мнимой частью и обозначается символом . Комплексное число называется сопряжённым комплексному числу и обозначается символом .Действительное положительное число называется модулем комплексного числа и обозначается символом .
II. Комплексные числа можно изображать на плоскости.Каждое число z= x+ iy отождествляется с точкой плоскости с координатами . Действительные числа отмечаются на оси абсцисс, поэтому её называют действительной осью, а чисто мнимые числа отмечаются на оси ординат, поэтому её называют мнимой осью. Комплексное число изображается также вектором с началом в точке 0 и концом в точке . Модуль комплексного числа имеет смысл длины этого вектора. Угол наклона вектора к положительному направлению действительной оси называется главным значением аргумента, он обозначается символом
III. Любое комплексное число можно записать в виде , где - модуль, а – аргумент комплексного числа. Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Комплексные числа и можно обозначить символами и соответственно. Комбинируя эти формулы, можно получить формулы Эйлера:
, ,
Используя сокращённое обозначение, можно записать комплексное число в виде: Такая форма называется показательной формой записи комплексного числа.
IV. Уравнение с натуральным имеет ровно корней ( с учётом кратности). Если
положить , то корни вычисляются по формуле:
, , являющейся аналогом формулы Муавра для
возведения в степень:
ТФКП 2 курс 4-ый семестр.
Задачи для решения в аудитории и домашнее задание.
- Проделать алгебраические действия с комплексными числами:
а) б) в)
- Вычислить: , если
- Доказать формулу деления двух комплексных чисел и :
- Вычислить : , , , , , .
- Вычислить : , , , ,
- Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел:
- Найти комплексно-сопряжённое число ко всем комплексным числам из задачи 6.
- Найти модуль всех комплексным числам из задачи 6.
- Найти модуль следующих комплексных чисел ( - действительное число):
; ; ; ; ;
.
- Используя алгебраическую форму комплексного числа, доказать формулы:
а) б) в) г) д)
е) ж) з)
- Доказать формулы:
а) б) в)
г) .
- Решить уравнения относительно z:
а) б) в) г)
13. Указать на комплексной плоскости следующие числа, отметить их модуль и аргумент:
14. Нарисовать множества точек комплексной плоскости, которые удовлетворяют следующим
условиям ( - комплексное число, - действительные числа)
а) б) в) г) д) е) ж)
з) и) к) л) м)
Регулярные (аналитические) функции
Необходимые сведения
1. Формулы для вычисления значений функций:
(1)
(2) (3)
(4) (5)
(6)
2. Условия Коши – Римана для функции
: (7)
В декартовых координатах В полярных координатах
(8) (9)
Задания для решения в аудитории
1.Вычислить:
2.Выделить действительную и мнимую части следующих функций:
а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж)
3. Выделить действительную и мнимую части следующих функций:
а) , б) , в) , г) , д) , е)
4. Выделить действительную и мнимую части следующих функций:
а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж)
5.Доказать равенства:
а) , б) , в)
6.Вычислить:
а) , б) , в)
7.Найти все точки, в которых обращаются в нуль функции:
а) , б) , в) , г) , д) е)
8.Найти все решения уравнений, изобразить решения на комплексной плоскости:
а) , б) , в) , г)
9.Найти значение модуля и главное значение аргумента заданных функций в указанных точках
а) б)
10.Проверить выполнение условий Коши – Римана :
а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж)
Домашнее задание
Ефимов-Поспелов, том 3: №№13.1 – 13.29
(Из них обязательно №№13.10,13.18, 13.23, 13.29),
№№13.35 – 13.41 (обязательно №№13.36, 13.39),
№№ 13.42 – 13.51 (обязательно №№13.44, 13.51)
Доказать равенства
а) , б) , в) , г) , д)
Вычислить:
а) , б) , в)
Доказать неравенства:
а) , б)
Найти все решения уравнений, изобразить решения на комплексной плоскости:
а) , б) , в) , г)
7.Проверить выполнение условий Коши – Римана :
а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж)
ЗАНЯТИЕ №2
Связь регулярных и гармонических функций.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной регулярной функции.
Необходимые сведения
I. Утв.1. Если функция регулярна, то её действительная и мнимая части – функции гармонические, т.е.
Утв.2. Если две функции – гармонические и для них выполнены условия Коши – Римана:
в декартовых координатах или в полярных координатах
(1) (2),
то эти две функции называются гармонически-сопряжёнными и они определяют регулярную функцию с точностью до комплексной константы.
Таким образом, зная только действительную или только мнимую часть регулярной функции, можно восстановить эту функцию.
II. Если функция регулярна и - её производная в точке , то
определяет коэффициент искажения длин в точке , а определяет угол поворота векторов в этой точке.
Если , то происходит растяжение
Если , то происходит сжатие
Если , то поворот против часовой стрелки
Если , то поворот по часовой стрелке
Задания для решения в аудитории
1.Восстановить регулярную функцию по её действительной части или по её мнимой части :
1.)
2.)
3.)
4.)
5.) ,
6.)
7.)
2.Существует ли регулярная функция , для которой ?
3.Найти угол поворота лучей и коэффициент искажения длин
1)в точке под действием отображения
2)в точках под действием отображения .
4.Какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается, если отображение осуществляется функцией:
1.) ?
2.) ?
3.) ?
4.) ?
5.) ?
6.) ?
(Изобразить на чертеже)
Домашнее задание
Ефимов-Поспелов, том 3: №№13.131 – 13.137, 13.138-13.143, 13.144-13.147 (изобразить полученные множества на комплексной плоскости), 13.148-13.155.
Конформные отображения.
Необходимые сведения
1.Отображение, осуществляемое линейной функцией , представляет собой композицию
· растяжения ( в раз),
· поворота (на угол ),
· сдвига (параллельного переноса на )
2.При отображении, осуществляемом степенной функцией ,
· длины «возводятся в степень »,
· углы «раскрываются в раз»
3.При отображении, осуществляемом показательной функцией
· прямые, параллельные действительной оси ( ), переходят в лучи ( )
· отрезок прямой, параллельной мнимой оси ( ), переходит в дугу окружности радиуса
Таким образом, прямоугольник переходит в сектор кольца.
4. При отображении, осуществляемом главным значением логарифмической функции , происходит обратное, то есть
· окружности с центром в нуле ( ) переходят в прямые
· лучи, выходящие из нуля ( ), переходят в прямые
Отображение, осуществляемое сложной функцией, удобно рассматривать как композицию нескольких последовательных отображений.
Задания для решения в аудитории
Изобразить на комплексной плоскости множество . Определить множество ,на которое отобразится под действием отображения . Изобразить на комплексной плоскости множество , описать его с помощью неравенств:
1) а) , б) , в)
2) а) , б) , в)
3) а) , б) , в)
4) а) , б) , в)
Домашнее задание
Ефимов-Поспелов, том 3: №№13.211 – 13.220.
Подготовиться к контрольной работе №1. Возможные постановки задач:
1)Изобразить ГМТ на плоскости.
2)Вычислить значение функции в данной точке.
3)Решить уравнение и изобразить его решения на компл. плоскости.
4)Проверить условия Коши-Римана для данной функции.
5)Восстановить регулярную функцию по её действ. или мним. части.
6)Найти образ данной области при заданном отображении
Занятие 3
Контрольная работа
Первая контрольная работа по ТФКП ориентирована на проверку знаний по темам занятий №№ 1 – 4
Примерные задания контрольной работы:
1. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции:
2. Вычислить
3. Решить уравнение и изобразить решения на комплексной плоскости:
4. Восстановить регулярную функцию по её действительной части при условии:
5. Найти образ множества при отображении . Сделать соответствующие чертежи.
Для подготовки к контрольной работе рекомендуется решать задачи различных вариантов из Типового расчёта (№№1-4), а также задачи, указанные в листочках №№ 1 – 4
Результат контрольной работы (оценка) влияет на зачёт по Типовому расчёту, а он, в свою очередь, на допуск к экзамену.
Занятие 4
Дата: 2019-03-05, просмотров: 271.
