В школьном курсе математике под ОБУЧЕНИЕМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМ понимаем обучение учащихся готовым доказательствам, предлагаемых учителем или учебником, и обучение самостоятельному поиску доказательств.

При надлежащей организации обучения готовым доказательствам на этом этапе возможно формировать у школьников необходимые навыки самостоятельного поиска и построения доказательства. Готовые доказательства должны выступать как модели, на которых школьники обучаются приемам умственной деятельности, лежащим в основе умения доказывать, применять различные методы доказательства, самостоятельно искать доказательство по аналогии с изученными.

Процесс обучения доказательствам целесообразно разделить на несколько последовательно решаемых задач:

1. изучение готовых доказательств, умение воспроизводить их;

2. самостоятельное построение доказательств по аналогии с изученными;

3. поиск и изложение доказательств указанным учителем способом;

4. самостоятельный поиск и изложение учащимися доказательств.

Остановимся на первом уровне обучения доказательствам - изучение готовых доказательств и умение их воспроизводить. Главными задачами процесса обучения, решаемыми на этом уровне учителем и учениками, являются:

1. осмысление исходных положений (условия) и требований теоремы (задачи);

2. осмысление основной идеи и системы развертывания доказательства;

3. понимание метода, которым осуществляется доказательство;

4. выделение основных этапов доказательства, четкое осознание всех аргументов доказательства.

Школьная практика свидетельствует о том, что на первых порах анализ формулировки теоремы вызывает у детей затруднения, но эти затруднения меньше, если теорема сформулирована в форме условного предложения ("если… - то…"). В этой связи на начальных этапах обучения доказательствам полезны устные упражнения, в которых учащимся предлагается сформулировать знакомые утверждения в виде условного предложения, выделив условие и заключение.

Г.А.Буткин в исследованиях о формировании умений, лежащих в основе геометрического доказательства, выделил 4 компонента, входящие в состав умения доказывать:

1. подведение объектов под понятие;

2. знание необходимых и достаточных признаков понятий, о которых идет речь в заключении;

3. выбор признаков понятий, соответствующих данным условиям;

4. действие развертывания условия.

Для формирования умений развертывания условия полезно давать учащимся задачи-вопросы типа: 1) дано два равных смежных угла СОВ и ВОА, что нам тем самым еще дано? 2) даны два треугольника, центрально-симметричные относительно точки О, что нам еще известно?

Практика школы показывает, что на начальном этапе обучения доказательствам некоторые школьники не понимают, что доказывается теорема для определенной одной фигуры, но справедлива эта теорема для всех возможных аналогичных случаев. Отдельные школьники оказываются беспомощными, если предложить им воспроизвести доказательство на измененном рисунке или даже на том же, но с другими буквенными обозначениями. Поэтому при закреплении и проверке домашнего задания нужно предлагать учащимся выполнять доказательство на измененном рисунке, при иных буквенных обозначениях.

Наряду с детальным изложением доказательства следует обращать внимание учащихся на структуру доказательства в целом: выделять основную идею доказательства, раскрывать краткую схему, объяснять, на основе каких известных ранее положений доказывается новое утверждение, какие дополнительные построения при этом выполняются и почему. Необходимость такого двустороннего подхода к изложению доказательств состоит в том, что детальное развернутое доказательство обеспечивает образование прочных связей между отдельными звеньями доказательства, а краткая схема с указанием метода и идеи доказательства обеспечивает понимание структуры основных связей в целом, способствует прочности усвоения доказательства.

Опыт показывает, что учащиеся лучше осознают и запоминают структуру доказательства, если записывают краткое изложение доказательства в символической форме. Опытные учителя считают, что учащиеся быстрее усваивают доказательство, если не отвлекаются на составление конспекта по ходу объяснения учителя. Для этого учитель предлагает учащимся вначале внимательно прослушать доказательство теоремы, а затем проектирует на экран краткую символическую запись условия и доказательства теоремы и предлагает учащимся перенести запись в тетрадь. Психологи объясняют это следующим образом: одновременное выполнение двух видов деятельности, если каждый из них требует полного сосредоточения внимания, невозможно.

Чтобы учащиеся лучше осознавали структуру доказательства теорем (или решения задач на доказательство) и учились обосновывать каждый шаг доказательства, полезно составлять таблицу из двух столбцов: в левом записывать цепочку утверждений, из которых слагается доказательство изученной теоремы, а в правой - обоснование каждого из утверждений.

Очевидно, что для успешного обучения доказательствам необходимо, чтобы школьники овладели достаточно полной системой теоретических знаний (понятия и их определения, аксиомы, теоремы), умениями выполнять основные построения. Но этого не достаточно. Необходимо также последовательно и целенаправленно обучать школьников общим умственным действиям: анализу, синтезу, абстрагированию, обобщению и др.

В школьном курсе математики учащиеся знакомятся с такими методами доказательств: аналитический, аналитико-синтетическим, синтетический, от противного, математической индукции, методом геометрических преобразований, алгебраическим методом.

Древнегреческий математик Папп так характеризует АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ДОКАЗАТЕЛЬСТВА : "В анализе искомое уже представляется найденным и смотрим, откуда оно получилось бы, и далее, что предшествовало бы этому последнему, пока не дойдем до чего-либо известного - того, что могло бы послужить исходным пунктом. Этот путь мы назовем анализом, или, что все равно, обратным решением. "

Правило-ориентир аналитического метод доказательства может выглядеть так.

1. Задать вопрос: из какого ранее известного предложения необходимо следует заключение доказываемого утверждения?

2. Если такого ранее известного утверждения найти не удается, то искать другое, пока еще не доказанное утверждение, из которого бы необходимо следовало заключение доказываемого утверждения.

3. Затем искать следующее утверждение, из которого бы необходимо следовало предыдущее, и т.д., пока не дойдем до такого утверждения, которое непосредственно следует из условия теоремы.

4. Сделать вывод, что данное утверждение доказано, поскольку вся цепочка достаточных условий для выполнения заключения удовлетворяется в силу его условия.