Каждая наука и каждый учебный предмет оперирует определенным кругом свойственных им понятий.

ПОНЯТИЕ - это форма мышления, в которой отражены существенные отличительные свойства и особенности конкретных предметов или явлений действительности.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ отображают в нашем мышлении пространственные формы и количественные отношения действительности, абстрагируясь от реальных ситуаций.

Каждое понятие имеет свой объем и содержание.

ОБЪЕМ ПОНЯТИЯ - это множество объектов, к которым применимо данное понятие.

СОДЕРЖАНИЕ ПОНЯТИЯ - это множество всех существенных признаков данного понятия.

Так, объем понятия "параллелограмм" представлен объединением множеств следующих четырехугольников: 1) собственно параллелограммы; 2) ромбы; 3) прямоугольники; 4) квадраты.

Для понятия "параллелограмм" содержание будет представлено такими, например, свойствами: 1) противоположные стороны равны; 2) противоположные углы равны; 3) диагонали в точке пересечения делятся пополам и т. д.

Содержание понятия жестко определяет его объем, и, наоборот, объем понятия вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует в некотором смысле обратная зависимость. Так, например, если увеличить содержание понятия "параллелограмм" (диагонали взаимно перпендикулярны), то сразу уменьшится его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция).

Если, например, увеличить объем понятия "сокращение дроби", включив его в понятие "тождественные преобразования" (разложение на множители или слагаемые, сокращение дроби и т.д.), то содержание этого понятия уменьшится (возможность деления компонентов выражения на одно и то же число исчезает для большинства тождественных преобразований)

Следует заметить, что рассмотренная зависимость между объемом и содержанием некоторого понятия имеет место лишь тогда, когда в процессе изменения содержания объем одного понятия является подмножеством другого понятия.

В учебном процессе важно правильно определить понятие.

Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенных в связное предложение (речевое или символическое) есть ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ (математического объекта).

Вот примеры:

1. квадрат - параллелограмм, у которого все углы прямые (недостаточное);

2. квадрат - ромб с прямым углом (правильное);

3. квадрат - параллелограмм с конгруэнтными сторонами и с четырьмя прямыми углами (избыточное).

Необходимо, чтобы учащиеся понимали, что никакие определения не доказываются.

Суть определения понятия - условное соглашение, но выбирается оно разумно, исходя из свойств того или иного понятия или в соответствии с теми или иными требованиями (при введении нового понятия).

Понятие может быть правильно определено различными способами.

1. Через ближайший род и видовое отличие. Например: квадрат - прямоугольник с равными сторонами; ромб - параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны.

2. Генетически (способом, указывающим на происхождение понятия). Например, окружность - множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.

3. Индуктивно. Например, рекуррентное равенство an=an-1+d определяет арифметическую прогрессию.

4. Через абстракцию. Например, натуральное число - характеристика класса эквивалентных конечных множеств.

В процессе изучения математики ученикам приходиться усваивать несколько сотен понятий. Не все понятия одинаково легко усвоить. Нельзя отождествлять это усвоение с умением сформулировать соответствующее понятие, так как ученики иногда заучивают определения, не понимая его сути. Учитель, прежде всего, должен заботиться не столько о том, чтобы ученики запоминали определения, а о том, чтобы они его понимали. Ученик должен знать существенные свойства изучаемого понятия, уметь приводить примеры отображенных в этом понятии объектов. Только в этом случае можно считать, что ученик усвоил понятие.

Приведем достаточно общую схему изучения понятия, которая выражает конкретно-индуктивный способ изложения от рассмотрения конкретных примеров к определению понятия. Но будем помнить, что существует и абстрактно-индуктивный путь от формулировки определения понятия к конкретным примерам.

Этапы процесса обучения

Конкретное словесное или символическое выражение данного понятия; конкретные модели данного понятия

1-й шаг. Отыскание ярких практических примеров, показывающих целесообразность изучения этого понятия.

Строительство железной дороги на прямых участках пути (укладка рельсов); контуры проема двери

2-й шаг. Выявление различных существенных и несущественных признаков данного понятия (учащиеся), введение термина, обозначающего данное понятие (учитель)

1. горизонтальное расположение прямых (несущественный признак);

2. равноотстоящие друг от друга (существенный признак);

3. прямые, не имеющие общих точек (существенный признак);

4. прямые бесконечно продолжаются в обе стороны (несущественный признак)

Рассмотрение особых случаев, если они имеются

Отмечается, что совпадающие прямые также находятся друг от друга на одинаковом расстоянии

Мотивировка термина, обозначающее данное понятие (учитель)

Параллельные от греческого слова parallelos, означающего "рядом идущие"

3-й шаг. Отбор существенных свойств данного понятия и формулировка определения этого понятия; первичное определение, внесение поправок, вторичное определение (учащиеся)

1. параллельные прямые - пара равноотстоящих прямых (нечетко, контрпример: стороны некоторого угла являются также в некотором смысле равноотстоящими по отношению к его биссектрисе)

2. параллельные прямые не имеют общей точки (неполное: контрпример - скрещивающиеся прямые, совпадающие прямые)

Четкое определение (учитель); повторение определения (учащиеся)

3. Определение: "Две прямые a и b, принадлежащие одной плоскости, называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают"

4-й шаг. Иллюстрация понятия конкретными примерами; контрпримеры

1. ступеньки лестницы

2. плинтус пола в комнате и линия пересечения потолка с боковой стенкой

3. соответствующие ребра куба на его модели

4. пересекающиеся прямые

Символическое обозначение

a||b, (AB)||(CD)

5-й шаг. Другие возможные определения данного понятия (учитель не должен быть педантом, требующим дословного повторения формулировки определения, но должен проявлять нетерпимость к математической некорректности речи и записи)

1. параллельные прямые - это прямые, которые:

o лежат в одной плоскости;

o совпадают или совсем не имеют общих точек;

2. параллельные прямые - прямые, лежащие в одной плоскости, которые не могут иметь только одну общую точку

Усвоение учащимися некоторого математического понятия предполагает, наряду с четким представлением о его объеме и содержании, умение применять это понятие в процессе своей математической деятельности.

Математические задачи

История свидетельствует о том, что математика как наука возникла из задач.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА - это некоторое требование вычислить, построить, доказать или исследовать что-либо, касающееся пространственных форм или количественных отношений, или же вопрос, равносильный такому требованию.

Решить задачу - выполнить то, что требуют в задаче.

В традиционной методике математики выделяют такие виды задач: на вычисление, построение, доказательство, исследование

Психологические и дидактические исследования проблемы обучения решению задач устанавливают такие основные причины несформированности у учащихся общих умений решения задач:

1. Неумение анализировать задачу, проникать в ее сущность, ориентироваться в ситуациях, сформулированных в условии задачи.

2. Отсутствие анализа собственной деятельности учеником после решения задачи, необходимого для того, чтобы выделить существенное в структуре решения, извлечь информацию, полезную для решения других задач.

3. Недостаточное управление мыслительной деятельностью учащихся со стороны учителя в процессе решения задач. Недостаточное внимание к выяснению функций отдельных типов задач и каждой конкретной задачи, их места в обучении.

Для большинства задач школьного курса можно сформировать алгоритмы их решения. Больший эффект в обучении решению задач достигается тогда, когда учитель не сообщает учащимся готовый алгоритм решения, а на примере одной-двух задач-моделей организует их деятельность на самостоятельный поиск алгоритмов. Для решения нестандартных задач необходимо владеть эвристическими методами и приемами (анализ, синтез, анализ через синтез, обобщение, абстрагирование, подведение под понятие, развертывание условия, установление существенных связей).

Обучение решению задач должно начинаться с обучения анализу условия задачи. Знание условия задачи актуализирует действия ученика по преобразованию его, что способствует поиску плана решения задачи. Усвоить условие задачи - это значит провести анализ его, вычленить данные и требования.

В процессе поиска плана решения продолжается дальнейшее сопоставление данных и требований задачи с целью выяснения существенных связей между ними. Если план решения задачи найден, то осуществление его обычно не вызывает трудностей у учащихся. Слабым местом в школьной практике является проверка и доказательство того, что полученное решение удовлетворяет требованиям задачи. Трудности эти главным образом связаны с тем, что проверка требует значительной затраты времени. Кроме того, в методике преподавания математики нет единого мнения относительно того, какой должна быть проверка решения, всегда ли она обязательна. Мы считаем, что школа должна сформировать у учащихся потребность и навыки в самоконтроле, в том числе и при решении задач.