Общие положения

     Математическое обеспечение(МО) объединяет в себе математические модели проектируемых объектов, методы и алгоритмы выполнения проектных процедур, используемые при автоматизированном проектировании.

     Элементы МО чрезвычайно многообразны, среди них имеются инвариантные элементы, широко применяемые в различных САПР.

К ним относятся принципы построения функциональных моделей, методы численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений, постановки экстремальных задач, поиска экстремума.

     Специфика предметных областей прояаляется прежде всего в математических моделях(ММ) проектируемых объектов, она заметна также в способах решения задач структурного синтеза. Формы представления МО также разнообразны, но его практическое использование происходит после реализации ПО.

     Математические модели

     Требования к математическим моделям:

•   универсальность;

•   адекватность;

•   точность;

•   экономичность.

     Степень универсальности ММ характеризует полноту отображе-ния в модели свойств реального объекта.

     Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

     Например, пусть - вектор входных параметров, тогда относительная погрешность расчета j-го параметра может быть оценена по формуле

 ,                      (3.1)

где yjm, yист- значения выходного параметра истинное и рассчитанное по математической модели.

     Адекватность ММ - способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Адекватность ММ как правило имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних параметров- в области адекватности(ОА)

     Экономичность модели характеризуется затратами вычислитель-ных ресурсов(времени и памяти) на ее реализацию.

     Классификация математических моделей

     ММ классифицируются по следующим признакам:

•   характер отображаемыых свойств объекта;

•   принадлежность к иерархическому уровню;

•   степень детализации описания внутри одного уровня;

•   способ получения модели.

     По характеру отображаемых свойств объекта ММ делятся на структурные и функциональные.

     Различают структурные топологические и геометрические ММ.

В топологических ММ отображают состав и взаимосвязи элементов объекта. Эти ММ чаще применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элелментов, например, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным постранственным позициям или относительным моментам времени при разработке технологических процессов.

     В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимом расположении объектов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические модели могут выражаться, например, совокупностью уравнений линий и поверхностей.

     Функциональные математические модели предназначены для отображения физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении.      

     Использование блочно-иерархического подхода к проектирова-нию приводит к появлению иерархии математических моделей проек-тируемых объектов.

     В зависимости от места в иерархии описаний математические модели делятся на ММ микро-, макро- и метауровня.

     Особенностью ММ на микроуровне является отражение физиче-ских процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичными ММ этого уровня являются дифференциальныые уравнения в частных производных. В них независимым переменными являются пространственные координаты и время.

     ММ на макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

     На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Здесь ММ также предсталя-ются в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В этих моделях не описываются внутренние для элементов фазовые пере-менные, а фигурируют только фазовые переменные,относящиеся к взаимным связям элементов.

     По способу представления свойств объектов функциональные модели делятся на аналитические и алгоритмические.

     Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних, т.е. имеют вид:

Y=F(X, Q),                 (3.3)

     где Y=(y1,y2,...,ym) - вектор выходных параметров;

           X=(x1,x2,..., xn) - вектор внутренних параметров;

     Q=(q1,q2,..., ql) - вектор внешних параметров.  

     Аналитические модели характеризуются высокой экономич-ностью, однако их получение возможно лишь в частных случаях и, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужающих адекватность модели.

     Алгоритмические модели выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма.

     Для получения моделей используют неформальные и формальные методы.

     Неформальные методы используют на различных иерархических уровнях для получения ММ элементов. Формальные методы применяют для получения ММ систем при известных математических моделях элементов.     

      Методика получения математических моделей

     В общем случае методика получения ММ включает в себя следующие операции:

1.  Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели;

2.  Сбор исходной информации овыбранных свойствах объекта;

3.  Синтез структуры ММ;

4.  Расчет числовых значений параметров ММ. Эта задача ставится как задача минимизации погрешности модели заданной структуры.

5. Оценка точности и адекватности ММ.