В математическом обеспечении (МО), включающем модели объектов, методы и алгоритмы решения проектных задач, можно выделить специальную и инвариантную части.

Специальная часть содержит математический аппарат, который отражает специфику принципов действия и структур проектируемых объектов, особенности их функционирования, оригинальные методы и алгоритмы решения задач, анализа и синтеза.

Инвариантная часть состоитиз методов и алгоритмов, слабо связанных с особенностями математических моделей конкретных объектов, например методов и алгоритмов решения систем уравнений, параметрической оптимизации и др. Состав и свойства МО оказывают непосредственное, а в большинстве случаев и определяющее влияние на функциональные характеристики САПР, поэтому для правильного выбора или разработки моделей, методов и алгоритмов необходимо учитывать ряд требований, предъявляемых к МО САПР [1, 2, 21]. Основными из них являются требования к универсальности, алгоритмической надежности, точности, быстродействию и используемым вычислительным ресурсам.

Требование к высокой степени универсальности МО предъявляется для того, чтобы обеспечить применение САПР к большинству объектов, проектируемых на предприятии. Например, при схемотехническом проектировании применяют математические модели функционирования транзистора, справедливые для любого режима его работы, а методы получения и анализа моделей применимы к любой аналоговой или цифровой схеме. В процессе проектирования структур вычислительных систем используют модели и алгоритмы, позволяющие исследовать стационарные и нестационарные процессы обработки информации для разнородных входных потоков данных.

Требование к алгоритмической надежности выражается свойством алгоритмов МО давать правильные результаты при различных исходных данных. Проверка выполнения этого требования особенно актуальна для эвристических алгоритмов, достоинством которых является высокое быстродействие. Поэтому, несмотря на то что они не гарантируют получение оптимальных результатов, их широко используют в САПР РЭС, например в подсистемах компоновки, размещения и трассировки печатных плат. Количественной оценкой надежности алгоритмов служит вероятность получения достоверных результатов при выполнении заранее заданных ограничений на их применение. Проблема надежности алгоритмов тесно связана с проблемой обусловленности математических моделей и задач. Плохая обусловленность приводит к получению существенных искажений результатов при малых погрешностях исходных данных. На каждом этапе вычислений имеются свои промежуточные исходные данные и результаты, в том числе и свои источники погрешностей, а недостаточная обусловленность приводит к росту погрешностей, что в итоге снижает точность конечного результата.

Требование к точности моделей и алгоритмов является важным для всех задач автоматизированного проектирования. Точность оценивается по степени совпадения расчетных и истинных результатов. Во многих случаях, когда погрешности вычислений оказываются выше предельно допустимых значений и решение задачи или вообще невозможно получить, или оно неверно, приходится говорить уже не о точности, а о надежности алгоритма. Точность компонентов МО оценивается с помощью специальных вычислительных экспериментов, основанных на использовании тестовых задач.

Требование к быстродействию обусловлено большими объемами вычислений, характерными для функционирования САПР РЭС. Обычно именно продолжительность вычислительных операций служит главным сдерживающим фактором при повышении сложности проектируемых на ЭВМ объектов и точности моделей для их исследования. Поэтому быстродействие, оцениваемое в виде затрат машинного времени, является важным требованием к МО САПР. Один из способов повышения быстродействия предусматривает применение многопроцессорных суперЭВМ или рабочих станций, построенных на базе многоядерных процессоров и позволяющих проводить параллельные вычисления.

Требование к используемым вычислительным ресурсам определяет второй по значимости после быстродействия показатель экономичности МО, оцениваемый величиной затрат машинной памяти при решении задачи в САПР. Затраты памяти определяются длиной программы и объемом используемых массивов данных. Несмотря на большой объем оперативной памяти в современных ЭВМ, экономичность по затратам памяти остается актуальной. Это связано с тем, что в многозадачном режиме функционирования ЭВМ программа с запросом большого объема памяти получает более низкий приоритет и в результате время ее пребывания в системе увеличивается. Улучшить экономичность по затратам оперативной памяти можно путем использования внешней памяти. Однако частые обмены данными между высокоскоростной оперативной памятью и внешней с гораздо меньшими скоростями чтения/записи могут привести к недопустимому росту затрат машинного времени. Поэтому при больших объемах программ и массивов обрабатываемой информации целесообразно использовать МО, допускающее построение оверлейных или динамических программных структур и реализующее принципы декомпозиции, т. е. раздельной обработки информации.

Разработка компонентов математического аппарата САПР (в первую очередь математических моделей) должна проводиться с учетом специфики каждого из иерархических уровней проектирования. В соответствии с блочно-иерархическим подходом принято выделять микроуровень, макроуровень, функционально-логический и системный уровни.

На микроуровне математические модели представляют в виде дифференциальных уравнений в частных производных вместе с граничными условиями. Такие модели описывают объекты с распределенными параметрами и используются при анализе процессов теплообмена, прочности конструкций или деталей, моделировании электромагнитных полей и т.п. Решение дифференциальных уравнений в частных производных выполняется численными методами, основанными на дискретизации независимых переменных, т. е. представлении их конечным множеством значений в выбранных узловых точках. Эти точки рассматриваются как узлы некоторой сетки, поэтому такие методы называют сеточными. Среди сеточных методов наибольшее распространение получили метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Модели макроуровнязаписывают в виде систем алгебраических и (или) обыкновенных дифференциальных уравнений, они характеризуют процессы в объектах с сосредоточенными параметрами. Для решения многих проектных задач на макроуровне в САПР широко используются алгоритмические модели на основе компонентных (описывающих свойства элементов системы) и топологических (описывающих взаимосвязи в составе моделируемой системы) уравнений. Компонентные и топологические уравнения отражают разные свойства объектов, но могут иметь одинаковый формальный вид. Это позволяет разрабатывать алгоритмы построения и исследования моделей в САПР, инвариантные к различным проектируемым объектам. Единообразие математического аппарата особенно важно при анализе систем, состоящих из физически разнородных подсистем. Анализ процессов функционирования РЭС проводят во временной и частотной областях. Динамический анализ во временной области позволяет получить картину переходных процессов, оценить динамические свойства линейных и нелинейных систем. Анализ в частотной области применяют, как правило, к объектам с линеаризуемыми моделями при исследовании колебательных процессов, устойчивости и т. п. Когда число компонентов исследуемой системы больше некоторой величины, сложность макромодели системы становитсячрезмерной.

В этом случае переходят на функционально-логический уровень, на котором исследуют устройства, в качестве элементов которых принимают сложные узлы и блоки, рассматривающиеся как самостоятельные объекты при моделировании на макроуровне. В случае необходимости модели элементов упрощаются по сравнению с их представлением на макроуровне. Для исследования непрерывных процессов используется аппарат передаточных функций или частотных характеристик, а если объектом исследования является дискретный процесс, — методы математической логики и конечных автоматов.

При исследовании объектов большой сложности, например, производственного предприятия, радиотехнического комплекса, вычислительных сетей и т.п., моделирование ведется на системном уровне. Здесь широко применяют методы теории массового обслуживания, сетей Петри и др.

Важное место в МО САПР занимает математический аппарат решения задач анализа и синтеза проектируемых объектов. Наиболее сложными и плохо формализуемыми являются задачи структурного синтеза. Во многих случаях для их решения нет полных исходных данных. Особое место в математическом аппарате САПР отведено обеспечению подсистем машинной графики и геометрического моделирования (МГиГМ), занимающих одно из центральных мест в САПР для областей радиоэлектроники, машиностроения, архитектуры и др. Проектирование изделий в этих областях ведется в интерактивном режиме с использованием геометрических моделей, отображающих форму деталей, состав сборочных единиц и некоторые дополнительные параметры (масса, цвет и т. п.). Поэтому основу математического обеспечения МГиГМпрежде всего составляют модели, методы и алгоритмы для геометрического моделирования и подготовки к визуальному отображению. Различают математическое обеспечение двумерного (2D) и трехмерного (3D) моделирования. Область применения 2D графики — подготовка чертежной документации в машиностроительных САПР, проектирование топологии печатных плат и кристаллов СБИС в САПР электронной промышленности. Особенности предметной области проектирования РЭС обусловливают специфику применяемых математических моделей, методов и алгоритмов, и прикладных пакетов программ САПР. Удачная реализация математического обеспечения в программных продуктах зачастую определяет успех всего процесса проектирования, поэтому в САПР предъявляются высокие требования к программному обеспечению.