3.1. Пределы, непрерывность и разрывы функций.
3.1.1.Найти пределы функций:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
3.1.2.В точках 
и 
для функции 
установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции 
в окрестностях этих точек:
;
Производные функций.
3.1.3.Найти производные 
функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; д) 
; е) 
;
ж) 
3.2. Приложения производной.
3.2.1.С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции 
.
3.3. Приближенное решение алгебраических уравнений.
3.3.1.Для уравнения 
отделить положительный корень и найти его приближенно с точностью 
:
а) методом деления отрезка пополам;
б) методом касательных.
Примечание. Можно считать, что точность 
достигнута, если разность между соседними приближениями 
и 
удовлетворяет неравенству 
.
4. Интегральное исчисление.
4.1. Неопределенный интеграл.
4.1.1.Найти интегралы:
а) 
; б) 
; д) 
.
4.2. Несобственные интегралы.
4.2.1.Вычислить интеграл или установить его расходимость:
4.3. Применения определенных интегралов.
4.3.1.Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
;
4.3.2.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:
.
4.4. Приближенное вычисление определенных интегралов.
4.4.1.Для вычисления определенного интеграла 
, разбивая отрезок интегрирования сначала на 10 равных частей, а затем на 20 равных частей, найти приближенное значение 
и 
: а) по формуле трапеций; б) по формуле Симпсона. Оценить точность приближения с помощью разности 
.
5. Функции нескольких переменных.
5.1. Частные производные и дифференциал функции.
5.1.1.Найти дифференциал 
функции 
.
5.1.2.Показать, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
5.2. Приложения частных производных.
5.2.1.Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке 
.
5.2.2.Для функции 
в точке 
найти градиент и производную по направлению 
.
6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы.
6.1. Двойные интегралы.
6.1.1.Изменить порядок интегрирования:
.
6.1.2.Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями 
и плоскостью, проходящей через точки 
и 
.
6.1.3.Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) 
.
6.2. Тройные интегралы.
6.2.1.Найти 
, если тело V ограниченно плоскостями 
и 
.
6.2.2.Найти объем тела, ограниченного поверхностями 
.
6.3. Криволинейные интегралы.
6.3.1.Вычислить 
, где 
, 
, а контур С образован линиями 
, 
: а) непосредственно; б) по формуле Грина.
6.3.2.Вычислить 
, где контур С является одним витком винтовой линии:
.
7. Элементы теории поля.
7.1. Дифференциальные операции.
7.1.1.В точке 
составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой
.
7.1.2.Найти в точке 
градиент скалярного поля
.
7.1.3.Найти в точке 
дивергенцию векторного поля
.
7.1.4.Найти в точке 
ротор векторного поля
.
7.2. Интегралы и интегральные теоремы.
7.2.1.Убедиться, что поле 
потенциально, и найти его потенциал.
7.2.2.Даны поле 
и цилиндр D, ограниченный поверхностями z =0, z = m , x 2 + y 2 =( n +1)2. Найти:
а) поток поля 
через боковую поверхность цилиндра в направлении внешней нормали;
б) поток поля через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали непосредственно и с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.
7.2.3. Даны поле 
и замкнутый виток 
, 
( обход контура происходит в направлении, соответствующем возрастанию параметра φ). Найти циркуляцию поля вдоль контура γ непосредственно и с помощью теоремы Стокса.
8. Дифференциальные уравнения.
8.1. Уравнения первого порядка.
8.1.1.Найти общее решение уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
.
8.1.2.Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным 
величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла 
миллионов рублей.
8.2. Линейные уравнения высших порядков.
8.2.1.Решить задачу Коши:
а) 
б) 
.
8.3. Системы линейных уравнений.
8.3.1.Решить систему линейных уравнений
с начальными условиями 
.
9. Ряды.
9.1. Числовые ряды.
9.1.1.Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
9.1.2.Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:
а) 
; б) 
.
9.2. Степенные ряды.
9.2.1.Найти область сходимости степенного ряда:
а) 
; б) 
.
9.2.2.Разложить функцию 
в ряд Тейлора в окрестности точки х0:
а) 
; б) 
.
9.2.3.С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,001 значения:
а) 
; б) 
.
9.3. Ряды Фурье.
9.3.1.Разложить функцию в ряд Фурье в указанном интервале:
а) 
в интервале 
;
б) 
в интервале 
.
в) 
в интервале 
.
10. Функции комплексного переменного.
10.1. Действия с комплексными числами.
10.1.1. Выполнить действия:
а) 
; б) 
.
10.1.2. Решить уравнения:
а) 
; б) 
.
10.2. Аналитические функции.
10.2.1. Показать, что функция 
аналитична.
10.2.2. Известна вещественная часть u ( x , y )= m ( x 2 - y 2 )+ mx - ny аналитической функции f ( z ), (z = x + iy). Найти функцию f(z) .
10.3. Интегрирование функций комплексного переменного.
10.3.1. Вычислить 
, где контур С – незамкнутая ломанная, соединяющая точки 
, 
и 
.
10.3.2. Вычислить с помощью интегральной формулы Коши
.
10.4. Ряды Тейлора и Лорана.
10.4.1. Разложить функцию 
в окрестности точки 
в ряд Тейлора и найти радиус сходимости ряда.
10.4.2. Разложить функцию 
в окрестности точки в ряд Лорана.
10.4.3. Разложить функцию 
в ряд Лорана по степеням 
и найти область сходимости ряда.
10.5. Вычеты и их приложения.
10.5.1. Определить тип особых точек функции 
и найти вычеты в конечных особых точках.
10.5.2. Вычислить с помощью вычетов 
, где контур C , заданный уравнением 
, обходится против часовой стрелки.
11. Операционное исчисление.
11.1. Нахождение изображений и восстановление оригиналов.
11.1.1. Найти изображения функций:
а) 
; б) 
.
11.1.2. Восстановить оригиналы по изображениям:
а) 
; б) 
.
11.2. Приложения операционного исчисления.
11.2.1. Решить операционным методом дифференциальное уравнение:
а) 
;
б) 
.
12. Теория вероятностей.
12.1. Случайные события.
12.1.1. В коробке находятся m +2 синих, n +3 красных и 2 n +1 зеленых карандашей. Одновременно вынимают m +3 n +2 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет m +1 синих и n +1 красных.
12.1.2. В первой урне находятся m +2 шаров белого и n шаров черного цвета, во второй — m + n белого и m синего, в третьей — n +3 белого и m +1 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
12.1.3. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна 
. Производится n+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.
12.2. Случайные величины.
12.2.1. Случайная величина Х равна числу появлений «герба» в серии из n +3 бросаний монеты. Найти закон распределения и функцию распределения F ( x ) этой случайной величины; вычислить ее математическое ожидание MX и дисперсию DX; построить график F(x).
12.2.2. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
| xi | -2 | -1 | 0 | m | m+n |
| pi | 0,2 | 0,1 | 0,2 | p4 | p5 |
Найти вероятности p 4 , p 5 , и дисперсию DX, если математическое ожидание MX=-0,5+0,5m+0,1n.
12.2.3. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:
Найти:
а) параметр а; б) функцию распределения 
;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал
;
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX.
Построить график функций и .
12.2.4. Случайные величины 
имеют равномерное, пуассоновское и показательное распределения соответственно. Известно, что математические ожидания Mξi = m + n , а дисперсия Dξ 1 = n 2 /3. Найти вероятности: а) 
; б) 
; в) 
.
13. Элементы математической статистики
Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб.:
| № предприятия | Выпуск продукции | Прибыль | № предприятия | Выпуск продукции | Прибыль |
| 1 | 60+n | 15,7 | 16 | 52,0 | 14,6 |
| 2 | 78,0 | 18,0 | 17 | 62,0 | 14,8 |
| 3 | 41,0 | 12,1 | 18 | 69,0 | 16,1 |
| 4 | 54,0 | 13,8 | 19 | 85,0 | 16,7 |
| 5 | 60+n | 15,5 | 20 | 70+n | 15,8 |
| 6 | n•m+20 | n+m+10 | 21 | 71,0 | 16,4 |
| 7 | 45,0 | 12,8 | 22 | n•m+30 | n+m+20 |
| 8 | 57,0 | 14,2 | 23 | 72,0 | 16,5 |
| 9 | 67,0 | 15,9 | 24 | 88,0 | 18,5 |
| 10 | 80+n | 17,6 | 25 | 70+n | 16,4 |
| 11 | 92,0 | 18,2 | 26 | 74,0 | 16,0 |
| 12 | 48,0 | n+m+5 | 27 | 96,0 | 19,1 |
| 13 | 59,0 | 16,5 | 28 | 75,0 | 16,3 |
| 14 | 68,0 | 16,2 | 29 | 101,0 | 19,6 |
| 15 | 80+n | 16,7 | 30 | 70+n | 17,2 |
По исходным данным:
Задание 13. 1.
13.1.1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте графики ряда распределения.
13.1.2. Рассчитайте числовые характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую 
, среднее квадратическое отклонение 
, дисперсию, коэффициент вариации V. Сделайте выводы.
Задание 13.2.
13.2.1. Определите границы, в которых с вероятностью 0,997 заключена сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.
13.2.2. Используя c2-критерий Пирсона, при уровне значимости 
проверить гипотезу о том, что случайная величина X – сумма прибыли – распределена по нормальному закону.
Задание 13.3.
13.3.1. Установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведённой продукции (X) и суммой прибыли на одно предприятие (Y). Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии.
13.3.2. Определите коэффициенты выборочного уравнения регрессии 
.
13.3.3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами X и Y, используя шкалу Чеддока.
При расчетах целесообразно использовать стандартные математические пакеты для персональных компьютеров.
14. Линейное программирование.
14.1. Задача оптимального производства продукции.
Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В, и С. Потребность 
на каждую единицу 
-го вида продукции 
-го вида сырья, запас 
соответствующего вида сырья и прибыль 
от реализации единицы -го вида продукции заданы таблицей:
| Виды сырья | Виды продукции | Запасы сырья | |
| I | II | ||
| А | 
| 
| 
|
| В | 
| 
| 
|
| С | 
| 
| 
|
| прибыль | 
| 
| |
| план (ед.) | 
| 
| |
14.1.1. Для производства двух видов продукции I и II с планом 
и 
единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее 
единиц обоих видов продукции.
14.1.2. В условиях задачи 14.1.1. составить оптимальный план 
производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль 
. Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс – методом)
14.1.3. Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путем. Определить соответствующую прибыль 
.
14.2. Транспортная задача.
На трех складах 
, 
и 
хранится 
, 
и 
единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям 
, 
и 
, заказы которых составляют 
, 
и 
единиц груза соответственно. Стоимость перевозок 
единицы груза с 
-го склада 
-му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток транспортной таблицы:
|
запасы | 
| 
|
| |
| 
|
| ||
|
|
|  4
| 2
|  
|
|
| 
| 
|  5
|  3
|
|
| 
|  1
|  
| 6
|
потребности
14.2.1. Сравнивая суммарный запас 
и суммарную потребность 
в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи, заданная этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад 
с запасом 
в случае 
или фиктивного потребителя 
с потребностью 
в случае 
и положив соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.
14.2.2. Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется воспользоваться методом наименьшей стоимости.)
14.2.3. Проверить, является ли первоначальный план оптимальным в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это так, то составить оптимальный план
,
обеспечивающий минимальную стоимость перевозок 
. Найти эту стоимость. (Рекомендуется воспользоваться методом потенциалов.)
14.3. Матричные игры.
14.3.1. Игра 
задана матрицей
Найти вероятности применения стратегий 1-м и 2-м игроком для получения цены игры. (Задачу решить аналитическим методом.)
14.3.2. Игра задана матрицами
для - четного
и
для 
- нечетного.
Применяя графический метод, найти смешанные оптимальные стратегии обоих игроков и определить цену игры.
15. Математические методы в экономике .
15.1. Сетевое планирование.
Прогресс производства сложной продукции разбивается на отдельные этапы, зашифрованные номерами 1, 2,..., 10. 1 – начальный этап производства продукции, 10 – завершающий. Переход от -го этапа к 
-му этапу назовем операцией. Возможны выполнения операций 
и их продолжительности 
задаются таблицей.
| N п/п | шифр операции | продолжительность операции | 15.1.1. Составьте и упорядочите по слоям сетевой график производства работ. Номера этапов необходимо обвести кружками, а операции |
|
| ||
| 1 | 1→2 | 
| |
| 2 | 1→3 | 4 | |
| 3 | 1→4 |
| |
| 4 | 2→3 | 3 | |
| 5 | 2→6 | 5 | |
| 6 | 4→3 | 2 | |
| 7 | 4→6 | 6 | |
| 8 | 3→5 | 3 | 15.1.2. Считая, что начало работы происходит во время |
| 9 | 3→7 | 
| |
| 10 | 5→9 |
| |
| 11 | 6→7 | 4 | |
| 12 | 6→8 | 3 | |
| 13 | 7→8 | 7 | |
| 14 | 7→9 | 
| |
| 15 | 7→10 | 5 | |
| 16 | 8→10 | 4 | |
| 17 | 9→10 |
|
, определите время 
окончания каждого
15.1.3. Найдите критическое время завершения процесса работ Ткр и выделите стрелки, лежащие на критическом пути.
15.1.4. Для каждой некритической операции определите резервы свободного времени 
и проставьте их над стрелками рядом с в скобках.
15.1.5. Решите задачу табличным методом. Номера этапов, лежащие на критическом пути подчеркните. (В табличном методе кроме резервов свободного времени необходимо также найти полные резервы времени 
для каждого этапа.)
Дата: 2018-12-28, просмотров: 231.
