Как только люди научились считать, у них появилась потребность записи чисел. Первоначально количество отображали равным количеством черточек или точек. Такая система записи чисел называется единичной потому, что любое число образуется путем повторения одного знака. Этот знак символизирует единицу. Единичная с течением времени стала неудобна – это связано с тем, что записывать большие количества неудобно и утомительно, и сами записи получались очень длинными. Другим примером непозиционной системы счисления является древнеегипетская система счисления. Она была создана в 3-м тысячелетии до н.э. В ней для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные иероглифы. Все остальные числа составлялись из ключевых чисел путем сложения. Например,  чтобы изобразить число 3252 – рисовали 3 цветка лотоса (3 тысячи) 2 свернутых пальмовых листа (2 сотни) 5 дуг (5 десятков) и 2 шеста (2 единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались его знаки. Их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемешку. Примером непозиционной системы счисления является Римская система счисления, она сохранилась до наших дней. В основе Римской системы счисления лежат знаки I V X.

I – для числа 1, V – для числа 5, X – для числа 10. Для чисел 100, 500, 1000 применялись первые буквы соответствующих латинских слов: C- Centum – 100, D- Demimile – 500, M – Mille – 1000. Например, число 28 – XXVIII. В непозиционной системе счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от её положения, записи числа. Непозиционная система имеет ряд существенных недостатков:

1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел

2. Невозможно представить дробные и отрицательные числа

3. Сложно выполнить арифметические операции, т. К. не существует методов их выполнения.

Позиционные системы счисления

Основные достоинства позиционной системы счисления – это простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов в необходимых для записи чисел. Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Возможно множество позиционных систем, т. К. за основание можно принять любое число не меньшее двух, Название системы соответствует её основанию (двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная). В позиционной системе любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующей форме.

A_q=a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2+…+a₀q⁰+a_-1q^-1+a_-mq^-m

 Где A – само число q – основание системы счисления a_n – это цифра, принадлежащая алфавиту данной системы счисления n – это число целых разрядов числа, m – число дробных разрядов числа.

Двоичная система состоит из чисел: 0 и 1

Восьмеричная система состоит из цифр от 0 до 7

Десятичная система состоит из цифр от 0 до 9

Шестнадцатеричная состоит из цифр от 0 до 9 и букв латинского алфавита A B C D E F

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода целого числа из одной системы в другую необходимо делить исходное число на новое основание до получения остатка меньшее, чем новое основание. Полученные остатки являются цифрами новой системы счисления, затем записываем остатки, в обратном порядке начиная с последнего.

Например:

91:2= 45+(1)          91:8=11+(3)      91:16=5+B(11)

45:2=22+(1)            11:8=1+(3)

22:2=11+(0)

11:2=5+(1)

5:2= 2+(1)

2:2= 1+(0)

91₁₀=1011011₂         91₁₀=133₈                  91₁₀=5B₁₆

Например: А₁₀ = 583₁₀ А₁₀= 5²8¹3⁰ А₁₀=3*10⁰+8*10¹+5*10²

Например: А₂= 100101₂ А₂= 1⁵0⁴0³1²0¹1⁰ 

 А₂= 1*2⁰+0*2¹+1*2²+0*2³+0*2⁴+1*2⁵ = 3 7₁₀

(110, 111)₂= 1²1¹0⁰, 1^-11^-21^-3 = 1*2²+1*2¹+0*2⁰+1*2^-1+1*2^-2+1*2^-3

2^-1=0,5; 2^-2=0,25; 2^-3=0,125 и т.д.

Коды систем счисления

    Таблица сложения         Таблица умножения Таблица вычитания

0+0=0                                0*0=0                  0-0=0

1+0=1                                0*1=1                  1-1=0

0+1=1                                1*0=1                  1-0=1

1+1=10                                                                10-1=1

1+1=11                              1*1=1

Двоичное сложение выполняется по тем же правилам, что и десятичное, с той лишь разницей, что перенос в следующий разряд производится после того, как сумма достигнет не десяти, а двух.

Двоичное вычитание выполняется аналогично вычитанию в десятичной системе счисления. При необходимости, когда в некотором разряде приходится вычитать единицу из нуля , принимается единица из следующего старшего разряда. Если в следующем разряде нуль, то делается в ближайшем старшем разряде, в котором стоит единица. При этом следует понимать, что занимаемая единица равна дум единицам данного разряда

Двоичное умножение выполняется также, как и умножение десятичное. Сначала получаются частичные произведения и затем их суммируют с учетом веса соответствующего разряда множителя . Умножение производится с младшего или старшего разряда множителя, что определяет направление сдвига. Если множители имеют дробные части, то положение запятой в произведении определяется по тем же правилам , что и для десятичных чисел.

Пример сложение двоичных чисел (101101)2 и (111110)

           101101       

111110

1101011

111110

           101101

10001

111, 01

100, 11

10, 10

111

101

111

 000

      111  

    100011