План:

1. Пересечение множеств

2. Объединение множеств

3. Свойства пересечения и объединения множеств

Пересечение множеств

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение обозначается знаком ∩:  А∩В = {х/х∈А и х∈В}. Например, А = {2, 4, 6, 8}, В = {5, 6, 7, 8, 9}, А∩В = {6, 8}.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является их общая часть.

  А               В            А             В          А=В           А        В          

                  а)                   б)             в)             г)                      д)   

Множества А и В пересекаются – а), б), в, г; множества А и В не пересекаются – д).

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А∩В = ∅.

Выясним, как находить пересечение множеств в конкретных случаях. Если множества заданы перечислением элементов, то достаточно перечислить их общие элементы. Если множества заданы характеристическими свойствами, то характеристическое свойство пересечения составляется из характеристических свойств множеств и союза «и».

Например, А – четные натуральные числа, В – двузначные числа. А∩В – четные и двузначные числа.

Рассмотрим случай, когда находят пересечение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А ∩ В = В и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества А ∩ В будет таким, как и свойство элементов множества В.

Умение вычленять множества в задачах и операции, которые над ними выполняются, - важный этап в их решении. Например, чтобы правильно выбрать действие, с помощью которого решается задача: «М – множество однозначных чисел, Р – множество нечетных натуральных чисел. Какие числа будут общими?», надо понять, что в задаче требуется найти число элементов в пересечении этих множеств.

Объединение множеств

Пусть даны множества А = {2, 4, 6, 8}, В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество D,

в которое включим элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или множеству В:  D = {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Полученное множество называют объединением множеств А и В.

Определение: Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение обозначают А ∪ В. По определению А ∪ В = {х ׀ х ∈А или х∈В}.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью.

Выясним, как находить объединение множеств в конкретных случаях.

Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А ∪ В, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Если множества заданы характеристическими свойствами, то характеристическое свойство множества А ∪ В составляется с помощью союза «или» из характеристических свойств множеств А и В. Например: множество А – четных натуральных чисел, множество В – двузначных чисел. Тогда множество А ∪ В – множество чисел, характеристическое свойство которых – «быть четным натуральным или двузначным числом».

Рассмотрим случай, когда находят объединение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А ∪ В = А и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества А ∪ В будет таким, как и свойство элементов множества А.

Умение вычленять множества в текстовых задачах и операции, которые над ними выполняются, - важный этап в их решении. Например, чтобы правильно выбрать действие, с помощью которого решается задача: «В букете 3 ромашки и 4 колокольчика. Сколько всего цветков в букете?», надо понять, что в задаче рассматриваются два множества – множество ромашек (3 элемента) и множество колокольчиков (4 элемента); эти множества объединены в одно и требуется найти число элементов в этом объединении.