ρ = R
3. Определение скорости при естественном способе задания ее движения. (стр 44 –45)
Постановка задачи .
Пусть известны:
1. траектория движения точки АВ.
2. начало отсчета и положительное направление отсчета дуговой координаты s .
3. закон движения по траектории s = s ( t )
Определить скорость точки по модулю и направлению.
Запишем исходную формулу, определяющую вектор скорости.
= 
,
Положение точки можно определить с помощью радиуса - вектора 
, с другой стороны положение точки определяется с помощью дуговой координаты s.
Тем самым мы считаем, что радиус вектор есть функция дуговой координаты s , а она зависит от времени t , т. е. радиус - вектор есть сложная функция от времени, выраженная посредством промежуточной величины s .
= [ s ( t ) ],
Продифференцируем сложную функцию, для этого сначала вычислим производную по промежуточной переменной, а потом производную от промежуточной по окончательной переменной.
= 
, ( 4»)
Как известно
= ( 4 )
т.е. если мы вернемся к формулам скорости, то можно записать
= 
или 
(5)
Вектор скорости направлен по касательной к траектории
Исследуем этот результат:
Если
> 0, то ↓↓
< 0, то ↓↑
 |
Определим модуль скорости, необходимо продифференцировать закон движения и взять его по модулю.
/ /= / 
/
т.к. | | = 1, т.е. единичный вектор, то
/ /= / / ( 6 )
Найдем проекцию вектора скорости на касательную
=
- проекция вектора скорости на касательную
= =
Опять возвращаемся к математике.
Положительное направление оси можно определить единичным вектором.
Запишем проекцию любого вектора на любую ось:
= 
cos ( )
cos 0 = 1
2 = 12 = 1
окончательно
= (7)
Сравним формулы (3) и (4). Эти величины могут отличаться знаком. Договоримся обозначать 
через 
= 
(8)
Скорость, определенная формулой (6) называется алгебраической скоростью точки, а знак может быть больше, меньше или равна нулю.
Если
>0, то точка движется в сторону возрастания дуговой координаты
<0 то точка движется в сторону убывания дуговой координаты
Эти величины могут отличаться только знаком, алгебраическое значение у них одинаковое.
Договоримся и модуль скорости, и его проекцию обозначать буквой .
Окончательно:
= 
=
Пример
Пусть
s = 
t 2 - 
t
Определить направление движения точки
= = 
t - = ( 
t -1 )
Знак скорости определяется знаком скобки:
если 0 < t < 3, то скорость <0 ,
при t = 3 =0, т.е. в данный момент точка остановилась,
если t > 3, то >0 , то точка движется в сторону возрастания дуговой координаты.
Для того, чтобы ввести понятие ускорения точки в естественной форме нам необходимы знания высшей математики.
4. Определение ускорения при естественном способе задания ее движения. (стр 51-54)
Постановка задачи .
Пусть известны:
1. траектория движения точки АВ.
2. начало отсчета и положительное направление отсчета дуговой координаты s .
3. закон движения по траектории s = s ( t )
Определить ускорение точки по модулю и направлению.
Запишем исходные формулы ускорения и скорости:
= 
= ,
где алгебраическая скорость точки , а 
единичный орт.
Подставим в первую формулу вектор скорости, т. е продифференцируем данное произведение. Необходимо учесть, что скорость меняется (движение может быть неравномерным), а вектор модуль которого равняется единице переменный по направлению, но постоянный по значению. Поэтому придется продифференцировать оба множителя. Дифференцируем как произведение.
= 
( )
Дифференцируем как произведение.
= + 
(9)
Вектор мы представили в виде двух составляющих.
Вектор - показывает, что первое слагаемое направлено по касательной, а второй вектор показывает направление по нормали.
Дальше необходимы знания дифференциальной геометрии. Необходимо рассмотреть формулы ФРЭНЕ.
Запишем формулу без вывода.
Можно доказать следующее выражение:
= 
И тогда ускорение можно записать:
= 
+ 
(10)
Данная формула показывает разложение вектора ускорения по естественным осям координат.
Введем следующие обозначения:
Wτ = - касательная составляющая ускорения
Wn = - нормальная составляющая ускорения
Wb = 0 - составляющая по бинормали
= τ + n (11)
Дата: 2019-02-02, просмотров: 194.
