Dr ( dx, dy, dz)
Тогда модуль dr будет равен:
| d 
| 
= 
= | ds |
Каков смысл этого корня? Что он показывает с точки зрения геометрии?
С точки зрения геометрии | ds |- этот радикал определяет элемент дуги равный по абсолютному значению ds . Или этот радикал определяет, что криволинейную дугу s мы заменили прямолинейной ds . Это значение приближенное с точностью до величин второго порядка.(высшего порядка малости)
Тогда модуль этого вектора
/ 
/ = / 
/ = 1
Вектор 
называется единичным вектором или ортом касательной к кривой АВ в точке М.
Направление
Покажем, что вектор всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты.
Сравним направления вектора d и
Изобразим два рисунка.
Первый рисунок.
Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.
Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М1. Перемещение точки М к М1 , обозначим через d маленькая дуга ds Изобразим орт по касательной к траектории.
 |
d - это вектор элементарного перемещения точки за бесконечно малый промежуток времени dt.
Он всегда направлен по касательной в сторону движения точки и абсолютно не важно в каком направлении точка движется.( в сторону увеличения или убывания дуговой координаты).
Записи будем делать под одной и другой картинкой
| При движении в положительном направлении, когда дуговая координата s возрастает. ( ds > 0 ) | При движении в отрицательном направлении, когда дуговая координата s убывает. ( ds < 0 ) |
| ↓↓ d
или
↓↓ d
| ↓↑ d
или
↓↑ d
|
Второй рисунок.
Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.
Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М1, но изобразим ее в противоположном направлении. Перемещение точки М к М1 , обозначим через d маленькая дуга ds. Изобразим орт по касательной к траектории. В этом случае ds < 0.
Вывод
Вектор - всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты s .
Рассмотрим некоторую пространственную линию. На этой линии возьмем две близкие друг к другу точки М и М1 и построим в этих точках орты касательных и 
.
По модулю они одинаковые, но у нас кривая линия, поэтому направлены они будут по разному.
 |
Вектор перенесем параллельно самому себе в точку М .
Произведем следующее построение: через и проведем плоскость s1
Вектор при этом будет менять свою ориентацию в пространстве.
Плоскость s1 будет как-то поворачиваться вокруг вектора . Пока не займет некоторое предельное положение.
При М → М1 вдоль АВ плоскость будет поворачиваться вокруг вектора пока не займет предельное положение плоскости s 1 .
Изобразим эту плоскость красным мелом.
Плоскость S называется соприкасающейся плоскостью в точке М к АВ.
Любой перпендикуляр к касательной называется нормалью.
Если
>0, то точка движется в сторону возрастания дуговой координаты
<0 то точка движется в сторону убывания дуговой координаты
Эти величины могут отличаться только знаком, алгебраическое значение у них одинаковое.
Договоримся и модуль скорости, и его проекцию обозначать буквой .
Окончательно:
= 
= 
Пример
Пусть
s = 
t 2 - 
t
Определить направление движения точки
= = 
t - = ( 
t -1 )
Знак скорости определяется знаком скобки:
если 0 < t < 3, то скорость <0 ,
при t = 3 =0, т.е. в данный момент точка остановилась,
если t > 3, то >0 , то точка движется в сторону возрастания дуговой координаты.
Для того, чтобы ввести понятие ускорения точки в естественной форме нам необходимы знания высшей математики.
4. Определение ускорения при естественном способе задания ее движения. (стр 51-54)
Постановка задачи .
Пусть известны:
1. траектория движения точки АВ.
2. начало отсчета и положительное направление отсчета дуговой координаты s .
3. закон движения по траектории s = s ( t )
Определить ускорение точки по модулю и направлению.
Запишем исходные формулы ускорения и скорости:
= 
= ,
где алгебраическая скорость точки , а 
единичный орт.
Подставим в первую формулу вектор скорости, т. е продифференцируем данное произведение. Необходимо учесть, что скорость меняется (движение может быть неравномерным), а вектор модуль которого равняется единице переменный по направлению, но постоянный по значению. Поэтому придется продифференцировать оба множителя. Дифференцируем как произведение.
= 
( )
Дифференцируем как произведение.
= + 
(9)
Вектор мы представили в виде двух составляющих.
Вектор - показывает, что первое слагаемое направлено по касательной, а второй вектор показывает направление по нормали.
Дальше необходимы знания дифференциальной геометрии. Необходимо рассмотреть формулы ФРЭНЕ.
Запишем формулу без вывода.
Можно доказать следующее выражение:
= 
И тогда ускорение можно записать:
= 
+ 
(10)
Данная формула показывает разложение вектора ускорения по естественным осям координат.
Введем следующие обозначения:
Wτ = - касательная составляющая ускорения
Wn = - нормальная составляющая ускорения
Wb = 0 - составляющая по бинормали
= τ + n (11)
Dr ( dx, dy, dz)
Тогда модуль dr будет равен:
| d | = = | ds |
Каков смысл этого корня? Что он показывает с точки зрения геометрии?
С точки зрения геометрии | ds |- этот радикал определяет элемент дуги равный по абсолютному значению ds . Или этот радикал определяет, что криволинейную дугу s мы заменили прямолинейной ds . Это значение приближенное с точностью до величин второго порядка.(высшего порядка малости)
Тогда модуль этого вектора
/ / = / / = 1
Вектор называется единичным вектором или ортом касательной к кривой АВ в точке М.
Направление
Покажем, что вектор всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты.
Сравним направления вектора d и
Изобразим два рисунка.
Первый рисунок.
Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.
Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М1. Перемещение точки М к М1 , обозначим через d маленькая дуга ds Изобразим орт по касательной к траектории.
| |
d - это вектор элементарного перемещения точки за бесконечно малый промежуток времени dt.
Он всегда направлен по касательной в сторону движения точки и абсолютно не важно в каком направлении точка движется.( в сторону увеличения или убывания дуговой координаты).
Записи будем делать под одной и другой картинкой
| При движении в положительном направлении, когда дуговая координата s возрастает. ( ds > 0 ) | При движении в отрицательном направлении, когда дуговая координата s убывает. ( ds < 0 ) |
| ↓↓ d
или
↓↓ d
| ↓↑ d
или
↓↑ d
|
Второй рисунок.
Изображаем траекторию «а в», На этой траектории выберем точку О' начало отсчета дуговой координаты и положительное направление этой дуговой координаты.
Положение точки М на данной траектории будет определяться при помощи дуговой координаты s. Выберем близлежащую к ней точку М1, но изобразим ее в противоположном направлении. Перемещение точки М к М1 , обозначим через d маленькая дуга ds. Изобразим орт по касательной к траектории. В этом случае ds < 0.
Вывод
Вектор - всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты s .
Рассмотрим некоторую пространственную линию. На этой линии возьмем две близкие друг к другу точки М и М1 и построим в этих точках орты касательных и .
По модулю они одинаковые, но у нас кривая линия, поэтому направлены они будут по разному.
| |
Вектор перенесем параллельно самому себе в точку М .
Произведем следующее построение: через и проведем плоскость s1
Вектор при этом будет менять свою ориентацию в пространстве.
Плоскость s1 будет как-то поворачиваться вокруг вектора . Пока не займет некоторое предельное положение.
При М → М1 вдоль АВ плоскость будет поворачиваться вокруг вектора пока не займет предельное положение плоскости s 1 .
Изобразим эту плоскость красным мелом.
Плоскость S называется соприкасающейся плоскостью в точке М к АВ.
Любой перпендикуляр к касательной называется нормалью.
Плоскость, содержащая все нормали, называется нормальной плоскостью.
Дата: 2019-02-02, просмотров: 207.
