Средняя квадратическая погрешность функции
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Измеренных величин.

В практике геодезических измерений определяемые величины обычно являются функциями других, непосредственно измеряемых величин. Рассмотрим функцию u независимых переменных x, y, z ,

u = f (x , y , z …).                                          (5.5)

Продифференцируем функцию (5.5) по всем переменным и заменим дифференциалы du, dx, dy, dz, …. погрешностями Du, Dx, Dy, Dz, ….

Получили выражение случайной погрешности Du в зависимости от случайной комбинации погрешностей Dx, Dy, Dz, …. Положим, что имеем n таких комбинаций, которым соответствует n выражений:

         (i = 1, 2, …, n)

Возведем полученные выражения в квадрат, сложим и разделим на n:

,

где квадратными скобками обозначены суммы.

Устремим число комбинаций в бесконечность (n ® ¥) и, воспользовавшись выражениями (5.4) и (5.3), получим: , , , , . И окончательно

                     (5.6)

Итак, квадрат средней квадратической погрешности функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженных на их средние квадратические погрешности.

Частные случаи.

1. Функция u является суммой переменных x , y, z

u = x + y + z .

В этом случае =1, =1, =1. Следовательно

= + + .

2. Функция u является разностью переменных x и y

u = x - y.

В этом случае =1, =-1. Следовательно

= + .

3. Функция u имеет вид: 

u = k × x,

где k – постоянный множитель. Теперь = k, поэтому = k2×  и

mu = k × mx.

4. Функция u является линейной функцией от x, y, z, …:

u = k1 x + k2 y + k3 z …,

где k i ­постоянные множители. Теперь частные производные равны =k1, = k2, = k3. Поэтому

.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения, вычисленного по горизонтальному расстоянию d=124,16 м и углу наклона n=2°16´, если md = 0,06 м, а mn = 1´.

Превышение вычисляют по формуле

h = d tgν.

Продифференцируем формулу по переменным d и n:

, .

Используя формулу общего вида (5.6) получим

Подставляя исходные данные, найдем

где 3438¢ -­ число минут в радиане. И окончательно m h=0,036 .м.

Пример 2. При геометрическом нивелировании (см. раздел 9.2) превышение вычисляют как разность отчетов по рейкам

h = a - b.

Отчеты берут с точностью ma = mb = 2 мм. Находим среднюю квадратическую погрешность превышения

= 2,8 мм

Пример 3. Выведем формулу допустимой угловой невязки замкнутого теодолитного хода (см. раздел 9.4). Невязку вычисляют по формуле

fb = b1 + b2 + ¼+ bn - 180°(n - 2),

где bi – измеренные углы (i = 1, 2, ¼, n) и n – их число.

Невязка - результат погрешностей в углах bi. Поэтому средняя квадратическая погрешность невязки равна

mf = = ,

где m1 = m2 = ¼ = mn = m – средняя квадратическая погрешность измерения угла. Примем ее равной m = 0,5¢.

Допуском угловой невязки (fb)доп служит предельная погрешность (fb)пред=2mf. Получаем формулу

(fb)доп = 1¢ .

Математическая обработка результатов прямых

Равноточных измерений

Арифметическая средина результатов равноточных измерений. Пусть имеем результаты многократных равноточных измерений одной величины: l1, l2, …, ln. Рассмотрим их среднее арифметическое

.                                 (5.7)

Из (5.1) следует l i = Х + Δi (i = 1, 2, … n). Поэтому напишем

= X - .

Согласно (5.2) с увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей, деленная на их число, стремится к нулю, и, следовательно, среднее арифметическое L стремится к истинному значению Х. Поэтому значение определяемой величины принимают равным среднему арифметическому.

Средняя квадратическая погрешность арифметической средины. Пусть точность результатов измерений l1, l2, …, ln характеризуется средними квадратическими погрешностями

m1 = m2 = ¼ = mn = m

и требуется найти среднюю квадратическую погрешность M арифметической средины.

Представим формулу (5.7) в следующем виде:

L = .

Среднюю квадратическую погрешность арифметической средины найдем как погрешность функции измеренных величин по формуле (5.6)

 

или

                                            (5.8)

Формула (5.8) показывает, что погрешность арифметической средины с ростом числа измерений убывает пропорционально квадратному корню из этого числа. Так, чтобы погрешность среднего арифметического уменьшить в 2 раза, число измерений надо увеличить в 4 раза.

Обработка результатов равноточных измерений. Математическая обработка ряда результатов l1, l2, …, ln прямых равноточных измерений одной величины выполняется в следующей последовательности:

1. Вычисляют среднее арифметическое L

.

2. Вычисляют поправки к vi результатам измерений

(i = 1, 2, …, n)

Контролем правильности вычислений служит сумма поправок, которая должна быть близка к нулю.

3. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле Бесселя:

.

Значение m вычисляют с двумя-тремя значащими цифрами.

4. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического

 .

Дата: 2018-12-28, просмотров: 312.