Решение систем линейных уравнений (n х n) с помощью определителей

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Лекция 2

Решение систем линейных уравнений (n х n) с помощью определителей.

1.Теорема (Правило Крамера).

Матрицы.

Определение матриц.

Операции над матрицами.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (n х n).

Одной из наиболее важных задач, в которых используются определители, является решение систем n линейных уравнений с n неизвестными (n х n) .

Определение 1. Системой линейных уравнений (n х n) будем называть

Систему вида

Здесь x_j ( j =1,2,...,n) − неизвестные системы уравнений;

a_ij (i,j=1,2,..., n)− коэффициенты при неизвестных; b_i (i =1,2,...,n) − свободные члены системы уравнений. Из коэффициентов при неизвестных составим определитель

Этот определитель будем называть главным.

Составим ещё n определителей, каждый из которых получается из главного определителя ∆ заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов.

Система может быть решена с использованием рассмотренных определителей.

1. Теорема (Правило Крамера).

Если главный определитель ∆ ≠ 0, то система имеет единственное решение. Это решение определяется по формулам

Формула Крамера (6) очень важна в теоретическом отношении, так как позволяет найти явные выражения неизвестных через коэффициенты и свободные члены системы уравнений (5). Однако для решения системы линейных уравнений (5) с численными коэффициентами применять эти формулы нецелесообразно, особенно при больших n , так как это связано с громоздкостью вычислений определителей ∆ и ∆ j ( j = 1,2,...,n).

МАТРИЦЫ.

§ 1. Определение матриц. Общие понятия.

Определение 1. Матрицей размерностью (m х n) называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Матрицы обозначаются заглавными буквами.

Здесь a_ij элемент матрицы, стоящий на пересечении i − ой строки и j − го столбца. Для упрощения записи матрицы (1) будем записывать только его общий элемент, т. е.

Определение 2. Если в матрице А поменять местами строки с соответствующими столбцами, то получим матрицу, которая называется транспонированной по отношению к матрице А.

Транспонированную матрицу будем обозначать A' .

Или упрощённая запись A' = (a_ji ) . Из определения следует, что если матрица А имеет размерность (m х n), то размерность транспонированной матрицы A' будет (n х m) .

Из определений 1 и 2 следует, что повторное транспонирование приводит к исходной матрице, т. е. (A')' = A .

Определение 3. Если все элементы матрицы равны нулю, то такая матрица называется нулевой. Её упрощённая запись О = (0).

Определение 4. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то

матрица называется квадратной. В этом случае число строк (столбцов)

Решение

Свойство 1. Справедлив переместительный закон для матриц, т. е.

А+В=В+А

Свойство 2. Справедлив сочетательный закон для матриц, т. е.

(А+В)+С=А+(В+С)