Задача №1: Определить площадь фигуры, построенной на отрезке  оси абсцисс и ограниченной функцией , принимающей отрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента:   при .

Решение:

Площадь данной фигуры равна площади криволинейной трапеции, симметричной данной фигуре относительно оси абсцисс. Криволинейная трапеция ограничена графиком функции, симметричным графику функции     относительно оси Ох, т. е. графиком функции .

Справка: График функции   получается симметричным отображением графика функции   относительно оси Ох.

Вывод: Площадь фигуры, ограниченной отрицательной функцией   на отрезке   оси абсцисс вычисляется по формуле:

Замечание: Площадь фигуры, построенной на отрезке  оси абсцисс и ограниченной непрерывной функцией , принимающей неотрицательные (отрицательные) значения при рассматриваемых значениях аргумента, вычисляется по формуле: .

Пример: Вычислить площадь фигуры, построенной на отрезке   оси абсцисс и ограниченной функцией .

Решение:

Фигура не является криволинейной трапецией, так как при    .

Воспользуемся формулой: ;

.

Ответ:

Задача №2: Определить площадь фигуры, построенной на отрезке  оси абсцисс и ограниченной функцией , пересекающей ось абсцисс внутри рассматриваемого отрезка:

1)   при ; при   (Рис. 1.);

2)  при ;  при    (Рис. 2.).

Рис. 1.                                                                  Рис. 2.

Решение:

1) Фигура не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая, принимает и отрицательные и неотрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента. .

- площадь фигуры, ограниченной функцией  при :   .

- площадь кр. тр., ограниченной функцией   при  :      .

2) Фигура не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая, принимает и отрицательные и неотрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента. .

- площадь кр. тр., ограниченной функцией   при : .

- площадь фигуры, ограниченной функцией   при : .

Вывод: Площадь фигуры, построенной на отрезке  оси абсцисс и ограниченной функцией , пересекающей ось абсцисс внутри рассматриваемого отрезка, вычисляется по формуле: .

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями:   , , , .

Решение: ;  - ветви направлены вверх;

; ;                  ;         ;

 - вершина параболы;

 - ось симметрии параболы;

х	0	2	4	6	8
у	- 4	- 3	0	5	12

Фигура не является криволинейной трапецией, так как функция  принимает отрицательные значения при  и неотрицательные значения при . .

- площадь фигуры, ограниченной функцией  при , вычисляется по формуле    ;

- площадь кр. тр., ограниченной функцией    при , вычисляется по формуле    ;

Ответ:

Задача №3: Определить площадь фигуры, построенной на отрезке  оси абсцисс и ограниченной функциями:  при   и   при ,   .

Решение:

Фигура не является криволинейной трапецией, так как ограничена двумя функциями. Прямой, проходящей через точку пересечения функций   и   и параллельной оси ординат, фигура разбивается на части   и , являющиеся криволинейными трапециями. .

Задача №4: Определить площадь фигуры, ограниченной функциями  и , удовлетворяющими условию  при рассматриваемых значениях аргумента .

Решение:

Рис. 1.                               Рис. 2.                            Рис. 3.