Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Запись комплексного числа   в виде   называется алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим , .

;            

;            

;                 

 

 

Запись комплексного числа  в виде  называется тригонометрической формой комплексного числа.

Используя формулу Эйлера , комплексное число   можно записать в так называемой показательной форме: .

 

Запись комплексного числа  в виде   называется показательной формой комплексного числа.

Пример: Представить в тригонометрической и показательной  формах комплексные числа:

1. ;

Решение: ; ;

;

, так как ;

.

Ответ: .

2. .

Решение:

;      ;

; ;

.

Ответ: .

Вывод:

1) Аргумент действительного числа : , если ; , если .

2) Аргумент мнимого числа : , если ; , если .

Упражнения:

1. Построить точки, изображающие комплексные числа:

  1;  – 1; ;    i; –5 i; ; .

1. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

  1;  – 1; ;    i; – i; ; ; .

Действия над комплексными числами

 

Сложение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме

;                 ;

 

Определение: Суммой двух комплексных чисел   и  называется комплексное число , определяемое равенством

.

Частный случай: Сложение сопряжённых комплексных чисел   и    есть число действительное:

 

Вычитание комплексных чисел, заданных в алгебраической форме      

;                 ;

Определение: Разностью двух комплексных чисел   и  называется такое комплексное число , которое, будучи сложенным с числом , даёт число , т. е. , если .

Частный случай: Вычитание сопряжённых комплексных чисел   и    есть число мнимое:

Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме

;                 ;

 

Определение: Произведением двух комплексных чисел   и   называется комплексное число , определяемое равенством

Вывод: .

 

Пример: .

Частный случай: Произведение сопряжённых комплексных чисел   и   есть число действительное:

Умножение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

;  

Правило: При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

 

Замечание: Правило умножения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть п одинаковых множителей, равных , то

– формула Муавра

Правило: При возведении в степень с натуральным показателем комплексного числа его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример: Найти .

Решение: Запишем число   в тригонометрической форме:

;      ;

; , так как ;

;

.

Ответ:    .

Рассмотрим степень мнимой единицы :

; ;

;

; ;

;

Правило: Чтобы возвести мнимую единицу в степень с натуральным показателем, надо возвести её в степень с показателем, равным остатку от деления данного показателя на 4.

Пример:    .