Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

61. а) Сколькими способами из группы, включающей 25 учащихся, можно выбрать актив группы в составе старосты и профорга?

б) В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара красные.

62. а) Найти количество всех трехзначных чисел, состоящих из чисел 1,2,3,4,5.

б) Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры, и помня только, что они различны, набрал их наудачу. Какова вероятность, что он набрал нужные цифры.

63. а) Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек. б) К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, из которых 50 спелых Покупатель выбирает 2 арбуза. Какова вероятность, что оба арбуза спелые?

64. а) Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате? б) Девять книг, из которых 4 одинаковые, а остальные различны, расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что эти 4 книги окажутся поставленными рядом.

65. а) В третьем классе изучается 10 предметов. В понедельник 4 урока. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

б) В партии из 24 деталей 6 бракованных. Из партии выбирают наугад детали. Найти вероятность того, что они все будут бракованными.

66. а) Сколькими способами можно из 20 человек назначить двух дежурных, из которых один старший?

б) Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что будет верно угадано 4 числа?

67. а) В подразделении 30 солдат и 3 офицера. Сколькими способами можно выделить патруль, состоящий из 3 солдат и одного офицера?

б) Из группы, состоящей из 10 юношей и 8 девушек, выбирают по жребию дежурных. Какова вероятность того, что все выбранные окажутся юношами?

68. а) Из 8 различных цветков нужно составить букет так, чтобы в него входило не менее 2 цветков. Сколько существует способов для составления такого букета?

б) Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Вычислить вероятность того, что студент знает 2 вопроса из билета.

69. а) Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на четыре различные должности из девяти кандидатов на эти должности?

б) В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что 4 наугад выбранных билета будут выигрышными?

70. а) Из 7 бегунов и 3 прыгунов нужно составить команду из 5 человек, в которую должен входить хотя бы один прыгун. Сколькими способами это можно сделать?

б) В партии из 10 деталей имеются 3 нестандартных. Найти вероятность того, что 3 наудачу взятые детали будут стандартными.

Задание 7

Численное интегрирование

Вычислить интеграл, используя задание 4 б):

а) по формуле Ньютона-Лейбница,

б) по формуле прямоугольников, учитывая п=5;

в) по формуле трапеции, п=5.

Рассчитать погрешность расчетов для заданий б) и в) относительно расчетов задания а).

Краткие теоретические сведения

Раздел 1

Математический анализ

1. Определение предела функции (по Коши): Число А называется пределом функции в точке х₀, если для любого существует такое >0, что из неравенства | x - x ₀ |< следует неравенство | f ( x )- A |< .

2. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел: , где v= v( x), v( x) при x .

Пример:

Второй замечательный предел: , где v = v ( x ) и при x v ( x ) .

Пользуясь связью бесконечно большой и бесконечно малой второй замечательный предел примет вид На практике удобно использовать пределы :

Пример:

3. Неопределенности вида

Для раскрытия неопределенности вида необходимо выполнить преобразование, позволяющее избавиться от выражения в знаменателе, значение которого при х x0 равно 0.

Пример:

Воспользоваться теоремами о пределах нельзя, так как получаем неопределенность вида . Выполним преобразование функции: умножим числитель и знаменатель на выражение

Получим предел: =-1

Для раскрытия неопределенности вида пользуются тем, что предел бесконечно малой равен 0. Для получения бесконечно малой , делят числитель и знаменатель на максимальную степень переменной в знаменателе.

Пример:

Определение производной.

Производной функции f(x) в точке х₀называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю:

Для производной функции у = f(x) употребляются обозначения: или .

Функция f(x) , имеющая производную в каждой некоторого промежутка , называется дифференцируемой в этом промежутке.

Производная сложной функции.

Теорема: Если функция x= имеет производную в точке t₀, а функция f(x) имеет производную в точке x₀= , то сложная функция имеет производную в точке t₀, определяемую по формуле

Пример: Найти производную функции y= ln⁵sinx.

Сначала дифференцируем степенную функцию, затем -логарифмическую, затем- тригонометрическую. Полученные производные перемножаем.

Область определения функции двух действительных переменных.

Переменная Z называется функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значений x и y по какому-либо правилу или закону ставится в соответствие определённое значение Z.

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых x и y, выражается формулой S=xy, т.е. значения S определяется совокупностью значений x и y.

Множество D пар значений (x,y), которые могут принимать переменные х и у, называется областью определения функции z= f(x,y). х и у - аргументы , z - значение функции.

Символически функция двух переменных обозначается так:

Z=f(x,y), Z=F(x,y), Z=j(x,y), Z=Z(x,y) и т. д.

Пример 2. Найти область определения функции z = ln (9 - x² - y² ) и изобразить на плоскости ху.

Так как существует логарифм только положительных чисел, то

9- x² -y²>0, отсюда x² + y² < 9 - это круг радиуса R=3 без ограничивающей его окружности . выполним рисунок:

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными).

Частными производными второго порядка от функции Z=f(x,y) называются частные производные от её частных производных первого порядка.

Пример 2. найти

Полным дифференциалом функции z = f(x,y) называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих переменных, т.е.

Учитывая, что для функций f(x,y)=x, f(x,y)=y : df=dx= x, df=dy= y, можно записать формулу в виде :

Практика показывает, что часто приходится по заданной производной или по заданному дифференциалу функции находить функцию, от которой была взята производная и дифференциал, т.е. выполнять обратную задачу дифференцированию – интегрирование.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x), т.е.

F ¢ (x)=f(x), х Î (a;b)

Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом

, где

f(x) – подынтегральная функция

f(x)dx – подынтегральное выражение

c – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

2 °. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е.

, где m=const

3°. Интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

4°. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

5°. Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С, т.е.

или

Если F(x)+C- первообразная функция для f(x), то приращение F(b)-F(a) первообразных функций при изменении аргумента x от x=a до x=b называется определенным интегралом и обозначается символом

, т.е. , где