1o. Интегралы вида
, (1)
где 
рациональная функция и 
целые числа.
Интегралы вида (1) находятся с помощью подстановки
где 
наименьшее общее кратное чисел 
.
Пример 1. Найти
Решение. Подстановка 
приводит интеграл к виду
Пример 2. Найти интеграл
Решение. Наименьшее общее кратное показателей корней в подынтегральном выражении равно 6, поэтому делаем подстановку 
откуда 
то есть
Пример 3. Найти интеграл
Решение. Сделаем подстановку 
.
Отсюда 
т.е. 
,
и значит,
Таким образом,
2o. Интегралы вида
где 
многочлен степени 
.
Полагают,
(3)
где 
многочлен степени 
с неопределенными коэффициентами и 
число.
Коэффициенты многочлена 
и число 
находятся при помощи дифференцирования тождества (3).
Пример 4.
Отсюда
Умножая на 
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
, получим:
Следовательно,
3o . Интегралы вида
(4)
приводится к интегралам вида (2) с помощью подстановки
4o . Интегралы от дифференциальных биномов
(5)
где 
и 
рациональные числа.
Условия Чебышева. Интеграл (5) выражается через конечную комбинацию элементарных функций лишь в следующих трех случаях:
1) если целое число;
2) если 
целое число. Здесь применяется подстановка 
, где 
знаменатель дроби 
;
3) если 
целое число. В этом случае используется подстановка 
Пример 3. Найти
Решение. Здесь 
Следовательно, имеет место случай 2) интегрируемости.
Подстановка
дает: 
Поэтому
где 
Интегрирование тригонометрических функций
1o. Интегралы вида
(1)
где 
и 
целые числа.
1) Если 
нечетное положительное число, то полагают
Аналогично поступают, если 
нечетное положительное число.
Пример 1.
2) Если 
и четные положительные числа, то подынтегральное выражение (1) преобразуют с помощью формул:
.
Пример 2.
3) Если 
и 
целые отрицательные числа одинаковой четности, то
В частности, к этому случаю сводятся интегралы
и 
Пример 3.
Пример 4.
4) Интегралы вида 
, где 
целое положительное число, вычисляются с помощью формулы
(или соответственно 
).
Пример 5.
5) В общем случае интегралы 
вида (1) вычисляются с помощью формул приведения (рекуррентных формул), выводимых обычно интегрированием по частям.
Пример 6.
2o. Интегралы вида 
и 
В этих случаях применяются формулы:
1) 
2) 
3) 
.
Пример 7.
3o. Интегралы вида
(2)
где 
рациональная функция.
1) С помощью подстановки
откуда
интегралы вида (2) приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной 
Пример 8. Найти
Решение. Полагая будем иметь:
2) Если имеет место тождество
то для приведения интеграла (2) к рациональному виду можно применить подставку 
Здесь
и
Пример 9. Найти
(3)
Решение. Полагая
будем иметь:
Заметим, что интеграл (3) вычисляется более быстро, если предварительно числитель и знаменатель дроби разделить на 
.
Дата: 2018-12-21, просмотров: 360.
