Пусть дана матрица

Метод Гаусса можно интерпретировать как метод, в котором матрица приводится к верхней треугольной форме (прямой ход).

Приведем матрицу к верхней треугольной. Вычтем из второй строки первую, умноженную на такое число, при котором первый элемент второй строки обратится в нуль. То же проделаем со всеми остальными строками. В результате все элементы первого столбца, лежащие ниже главной диагонали, обратятся в нуль. Затем, используя вторую строку, обратим в нуль соответствующие элементы второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, приведем матрицу систему к верхней треугольной форме.

Запишем общие формулы метода Гаусса. Пусть проведено исключение к элементов из (k-1)-го столбца. Тогда останутся строки с ненулевыми элементами ниже главной диагонали.

Умножим k-ю строку на число

 m > k (3)

и вычтем из m-й строки. Первый ненулевой элемент этой строки обратится в нуль, а остальные изменятся по формулам

(4)

 k < m(5)

Проведя вычисления по этим формулам при всех указанных индексах, обратим в нуль элементы k-го столбца, лежащие ниже главной диагонали. Аналогичная процедура приводит матрицу системы к верхней треугольной форме, при этом весь процесс приведения называется прямым ходом метода Гаусса.

Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. В результате выполнения прямого хода метода исключения система линейных уравнений приводится к верхней треугольной матрице. Следовательно, определитель матрицы системы может быть вычислен как произведение диагональных элементов:

(6)

где k- количество перестановок строк при использовании метода исключения с выбором главного элемента.

На некотором шаге прямого хода может оказаться, что коэффициент  но мал по сравнению с остальными элементами матрицы системы и, в частности, мал по сравнению с элементами первого столбца. Деление коэффициентов системы на малую величину может привести к значительным ошибкам округления.

Для уменьшения ошибок округления поступают следующим образом. Среди элементов первого столбца  каждой промежуточной матрицы выбирают наибольший по модулю (главной) элемент и путем перестановки i-го строки со строкой, содержащей главный элемент, добиваются того, что главный элемент становится ведущим. Такая модификация метода исключения Гаусса называется методом Гаусса с выбором главного элемента. Случай появления нулевых элементов обходится при этом сам собой.

Важным достоинством данного метода, является то, что вычисление определителя требует примерно (2/3)n³ операций, что несравнимо меньше с  операциями, при вычислении определителя по правилу Крамера, поэтому метод Гаусса с выбором главного элемента наиболее применим при обработке данных на компьютере.

АЛГОРИТМ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ