Система линейных уравнений имеет вид:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = b₂, (5.1)

... ... ... ...

a_m1 x₁ + a_m1 x₂ +... + a_mn x_n = b_m.

Здесь а_{i j} и b_i (i = ; j = ) - заданные, а x_j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:

AX = B, (5.2)

где A = (а_{i j}) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x₁, x₂,..., x_n)^T,
B = (b₁, b₂,..., b_m)^T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x_j и из свободных членов b_i.

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c₁, c₂,..., c_n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x₁, x₂,..., x_n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c₁, c₂,..., c_n)^T такой, что AC = B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрица

,

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и совпадают, т.е.
r(A) = r( ) = r.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

1) M = ∅ (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда
r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m≥n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0<r<n, то система является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = b₂, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a_n1 x₁ + a_n1 x₂ +... + a_nn x_n = b_n.

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера;
3) матричным методом.

Пример 2.12. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:

5x₁ - x₂ + 2x₃ + x₄ = 7,

2x₁ + x₂ + 4x₃ - 2x₄ = 1,

x₁ - 3x₂ - 6x₃ + 5x₄ = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

` .

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу = 7 ≠ 0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной матрицы рассмотрим окаймляющий минор

значит, ранг расширенной матрицы r( ) = 3. Поскольку r(A) ≠ r( ), то система несовместна.

Метод Гаусса

Определение метода Гаусса

Метод Гаусса применен к решению систем с одним решением, с бесконечным количеством решений и не имеющим решений.

Определение. Метод исключения неизвестных Гаусса представляет собой метод решения линейной системы (состоящий из уравнения и неизвестных) путем преобразования расширенной матрицы

к треугольной форме,

Этот метод также называется метод исключения неизвестных.

Следующие примеры иллюстрируют метод Гаусса.