Введение
На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:
Y 
(x) = A(x) ∙ Y(x) + F(x),
где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y (x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.
Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами
Краевые условия имеют вид:
U∙Y(0) = u,
V∙Y(1) = v,
где
Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,
Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:
Y(x) = e 
∙ Y(x 
) + e 
∙ 
e 
∙ F(t) dt,
где
e = E + A(x-x ) + A 
(x-x ) /2! + A 
(x-x ) /3! + …,
где E это единичная матрица.
Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:
K(x←x ) = K(x - x ) = e .
Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:
Y(x) = K(x←x ) ∙ Y(x ) + Y*(x←x ) ,
где Y*(x←x ) = e ∙ e ∙ F(t) dt это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.
Случай переменных коэффициентов
Этот вариант рассмотрения переменных коэффициентов проверялся в кандидатской диссертации.
Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):
e 
= e 
∙ e 
∙ … ∙ e 
∙ e 
,
K(x 
←x ) = K(x ←x 
) ∙ K(x ←x 
) ∙ … ∙ K(x 
←x 
) ∙ K(x ←x ).
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:
K(x ←x ) = K(x 
←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ … ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x ),
где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:
K(x 
←x 
) = e 
, где ∆x = x 
- x .
Метод половины констант
Этот метод пока не обсчитан на компьютерах.
Выше было показано, что решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно искать в виде только с половиной возможных векторов и констант. Была приведена формула для начала вычислений:
Y(0) = М 
∙с + 
∙ 
.
Из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:
Y(0) = М ∙с + U 
∙u 
или
Y(0) = U ∙u 
+ М ∙с
или
Y(0) = 
∙ 
,
Таким образом записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.
Далее запишем V∙Y(1) = v и Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) совместно:
V∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = v
V∙ K(1←0) ∙Y(0) = v - V∙Y*(1←0)
и подставим в эту формулу выражение для Y(0):
V∙ K(1←0) ∙ 
∙ = v - V∙Y*(1←0).
V∙ K(1←0) ∙ 
∙ = p.
Таким образом мы получили выражение вида:
D ∙ = p,
где матрица D имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4:
∙ = p.
Тогда можем записать:
D1∙ u 
+ D2 ∙ c = p.
Отсюда получаем, что:
c = D2 
∙ ( p - D1∙ u 
)
Таким образом, искомые константы найдены.
Далее показано как применять этот метод для решения «жестких» краевых задач.
Запишем
V∙ K(1←0) ∙ ∙ 
= p.
совместно с K(1←0) = K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) и получим:
V∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ 
∙ = p.
Эту систему линейных алгебраических уравнений можно представить в виде:
[ V∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ 
∙ 
} = p.
[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор
Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[ V∙ K(1←x2) ] {K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ 
} =p .
И так далее.
В итоге поочередного вычленений матриц слева из вектора и ортонормирования получим систему:
D 
∙ = p 
,
Отсюда получаем, что:
c = D2 
∙ (p - D1 ∙ u 
)
Таким образом, искомые константы найдены.
Введение
На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:
Y (x) = A(x) ∙ Y(x) + F(x),
где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y (x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.
Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами
Краевые условия имеют вид:
U∙Y(0) = u,
V∙Y(1) = v,
где
Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,
Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:
Y(x) = e ∙ Y(x ) + e ∙ e ∙ F(t) dt,
где
e = E + A(x-x ) + A (x-x ) /2! + A (x-x ) /3! + …,
где E это единичная матрица.
Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:
K(x←x ) = K(x - x ) = e .
Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:
Y(x) = K(x←x ) ∙ Y(x ) + Y*(x←x ) ,
где Y*(x←x ) = e ∙ e ∙ F(t) dt это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.
Случай переменных коэффициентов
Этот вариант рассмотрения переменных коэффициентов проверялся в кандидатской диссертации.
Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):
e = e ∙ e ∙ … ∙ e ∙ e ,
K(x ←x ) = K(x ←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ … ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x ).
В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:
K(x ←x ) = K(x ←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ … ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x ),
где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:
K(x ←x ) = e , где ∆x = x - x .
Дата: 2019-07-25, просмотров: 160.
