Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:

.

В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:

.

При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции fi(ζi; ηi) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy. Тогда получим интеграл

.

На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P(x, y) и f = Q(x, y) и интегралы

,

а сумма этих интегралов

называется общим криволинейным интегралом второго рода

Геометрические и физические приложения криволинейных интегралов

Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

• Длина кривой;
• Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
• Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.

Длина кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором . Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом

где − производная, а − компоненты векторной функции .

Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой

Если кривая C представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции в плоскости Oxy, то длина такой кривой вычисляется по формуле

Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением , и функция является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением

Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости Oxy (рисунок 1). Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется формулами

Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой стрелки.

Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде , то площадь соответствующей области равна

Рис.1		Рис.2

Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси Ox

Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости y ≥ 0 и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой C, обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области R вокруг оси Ox образуется тело Ω (рисунок 2). Объем данного тела определяется формулами