Криволинейные интегралы - обобщение понятия определённого интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:

где f(x, y) - функция двух переменных, а L - кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB.

Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?

Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L, а функция двух переменных f(x, y) определена в точках кривой L. Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.

1. Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
2. В каждой части свободно выбрать точку M.
3. Найти значение функции в выбранных точках.
4. Значения функции умножить на
• длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода;
• проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода.
5. Найти сумму всех произведений.
6. Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.

Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f(x, y) по кривой AB.

Случай криволинейного интеграла
первого рода

Случай криволинейного интеграла
второго рода

Введём следующие ообозначения.

Mi(ζi; ηi) - выбранная на каждом участке точка с координатами.

fi(ζi; ηi) - значение функции f(x, y) в выбранной точке.

Δsi - длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).

Δxi - проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).

d = maxΔsi - длина самой длинной части отрезка кривой.

Криволинейные интегралы первого рода

Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:

.

Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл. Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:

.

В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B) считать началом отрезка, а какую концом, то есть

.